2. 概複素構造と可積分性

2.1 点ごとの「i 倍」は何を保証するか

前章では、複素多様体の正則座標から接束上の自己準同型 \(J\) を得た。そこで座標帳を忘れ、\(J\) だけを出発点にする。

定義（概複素構造） 実多様体 \(M\) 上の概複素構造とは、滑らかなベクトル束自己準同型 \[ J:TM\longrightarrow TM \] であって、各点で \(J^2=-\operatorname{id}_{TM}\) を満たすものである。組 \((M,J)\) を概複素多様体という。

この条件が「複素数を掛けられる」ことを表す理由を確認する。実数 \(a,b\) と接ベクトル \(v\in T_pM\) に対して \[ (a+ib)\cdot v:=av+bJv \] と置く。特に \(i\cdot v=Jv\) である。複素数の積と両立するかを見ると、 \[ \begin{aligned} (a+ib)\cdot((c+id)\cdot v) &=(a+ib)\cdot(cv+dJv)\\ &=a(cv+dJv)+bJ(cv+dJv)\\ &=(ac-bd)v+(ad+bc)Jv\\ &=((a+ib)(c+id))\cdot v. \end{aligned} \] 第3行で \(J^2v=-v\) を使った。したがって各 \(T_pM\) は複素ベクトル空間になる。特に実次元は偶数であり、複素基底 \(e_1,\ldots,e_n\) から実基底 \[ e_1,Je_1,\ldots,e_n,Je_n \] が得られるので自然な向きも定まる。ただし、偶数次元かつ向き付け可能であることは概複素構造の必要条件にすぎず、十分条件ではない。たとえば \(S^4\) は向き付け可能な実4次元多様体だが、概複素構造を持たない。この事実の証明には特性類を用いるので、後の Chern 類の章で戻る。

ここまでの議論は点ごとである。正則座標とは、近傍全体で同時に \(J\) を標準形 \(J_0\) にする関数の組である。各点で行列を標準形にできることと、一つの座標系で近傍全体を標準化できることの間には、微分方程式を解くという隔たりがある。

2.2 可積分性とは「座標から来ている」こと

定義（可積分性） 概複素構造 \(J\) が可積分であるとは、各点の近傍に複素座標 \((z^1,\ldots,z^n)\) が存在し、その座標で \(J\) が標準的な \(i\) 倍として表されることをいう。

可積分性は、抽象的に与えた \(J\) が本当に複素多様体の座標帳から生じるための条件である。「積分」という語は、接空間内の方向データを、実際の座標関数へ積み上げることを指している。

実次元2では事情が特別で、滑らかな概複素構造は常に可積分である。最初に非自明な障害が現れるのは実次元4以上である。したがって Riemann 面だけを見ていると、概複素構造と複素構造の差は見えない。

2.3 障害はなぜ Lie 括弧に現れるのか

座標ベクトル場は \[ \left[\frac{\partial}{\partial x^j}, \frac{\partial}{\partial x^k}\right]=0 \] を満たす。逆に、点ごとに選んだ方向が座標方向から来るかどうかを調べるとき、Frobenius の定理では分布が Lie 括弧で閉じているかが現れる。概複素構造でも、正則方向の候補が Lie 括弧で閉じるかを測ればよい。この発想を実接束上で書いたものが Nijenhuis テンソルである。

定義（Nijenhuis テンソル） 実ベクトル場 \(X,Y\) に対して \[ N_J(X,Y) =[JX,JY]-[X,Y]-J[JX,Y]-J[X,JY] \] と置く。

式だけでは、なぜこの組合せなのか見えにくい。次章で導入する複素ベクトル場 \[ Z=X-iJX,\qquad W=Y-iJY \] は \(JZ=iZ\), \(JW=iW\) を満たす「\((1,0)\) 方向」である。その括弧を展開すると \[ \begin{aligned} [Z,W] &=[X-iJX,Y-iJY]\\ &=[X,Y]-i[X,JY]-i[JX,Y]-[JX,JY]. \end{aligned} \] この括弧が再び \((1,0)\) 型である条件は \(J[Z,W]=i[Z,W]\) である。係数まで確認するため、\(N_J\) を複素双線形に延長し、初めから \(Z,W\in T^{1,0}\) とする。\(JZ=iZ\), \(JW=iW\) だから \[ \begin{aligned} N_J(Z,W) &=[iZ,iW]-[Z,W]-J[iZ,W]-J[Z,iW]\\ &=-2[Z,W]-2iJ[Z,W]. \end{aligned} \] \([Z,W]=[Z,W]^{1,0}+[Z,W]^{0,1}\) と分けると \[ -2[Z,W]-2iJ[Z,W] =-4[Z,W]^{0,1}. \] したがって \(N_J=0\) なら \(T^{1,0}\) は括弧で閉じる。逆もこの式から従う。複素共役を取れば \[ N_J(U,V)=-4[U,V]^{1,0}, \qquad U,V\in T^{0,1}, \] なので \(T^{0,1}\) の閉性とも同値である。Nijenhuis テンソルは、正則方向の候補が括弧からはみ出す成分を、定数 \(-4\) を除いてそのまま測っている。

なぜ「テンソル」と呼べるのか

Lie 括弧は一般に関数線形ではなく、\([fX,Y]=f[X,Y]-Y(f)X\) という微分項を持つ。それでも上の四項では微分項が相殺する。実際、 \[ \begin{aligned} N_J(fX,Y) ={}&[fJX,JY]-[fX,Y]-J[fJX,Y]-J[fX,JY]\\ ={}&f[JX,JY]-JY(f)JX-f[X,Y]+Y(f)X\\ &-fJ[JX,Y]+Y(f)J^2X-fJ[X,JY]+JY(f)JX. \end{aligned} \] \(J^2X=-X\) を使うと微分項がすべて消え、 \[ N_J(fX,Y)=fN_J(X,Y) \] となる。第二変数についても同様である。よって \(N_J(p)\) はベクトル場の近傍での延長ではなく、\(X_p,Y_p\) の値だけに依存する。

2.4 非可積分性を局所計算で見る

\(\mathbb C^2\) の領域 \(\{|z_1|<1\}\) を考え、複素化接束内の階数2の部分束 \(L\) を \[ L_1=\frac{\partial}{\partial\bar z_1},\qquad L_2=\frac{\partial}{\partial\bar z_2} +\bar z_1\frac{\partial}{\partial z_2} \] で張る。その複素共役は \[ \bar L_1=\frac{\partial}{\partial z_1},\qquad \bar L_2=\frac{\partial}{\partial z_2} +z_1\frac{\partial}{\partial\bar z_2} \] である。\(z_2,\bar z_2\) 方向の係数行列の行列式は \(|z_1|^2-1\) だから、\(|z_1|<1\) では零にならない。よって \[ T_{\mathbb C}M=L\oplus\bar L \] であり、\(L\) を \(-i\) 固有束、\(\bar L\) を \(+i\) 固有束と指定することで、実際に概複素構造が定まる。しかし \[ [L_1,L_2] =\left[\frac{\partial}{\partial\bar z_1}, \bar z_1\frac{\partial}{\partial z_2}\right] =\frac{\partial\bar z_1}{\partial\bar z_1} \frac{\partial}{\partial z_2} =\frac{\partial}{\partial z_2} \] は \(L_1,L_2\) の張る部分束に入らない。したがってこの方向分布は正則座標方向から来ない。点ごとの固有空間は作れても、それらが近傍で座標へ積み上がるとは限らないのである。

2.5 Newlander–Nirenberg 定理

正則座標から来るなら \(N_J=0\) でなければならない。難しいのは逆向きである。一次のテンソル条件だけから、非線形偏微分方程式を解いて座標関数を作れるのだろうか。

重要な非自明結果（Newlander–Nirenberg 定理、滑らかな場合） \(M\) を滑らかな実 \(2n\) 次元多様体、\(J\) を滑らかな概複素構造とする。このとき次は同値である。

1. \(J\) は可積分である。
2. \(N_J=0\) である。
3. \(T^{0,1}M\) の滑らかな切断は Lie 括弧で閉じている。

ここでは \(C^\infty\) の場合を使う。有限正則性では定理の精密な形に注意が必要であり、「連続なら同じ」と一般化してはいけない。

何が非自明か。 \(N_J=0\) は \(J\) の一階微分に関する局所条件である。一方、可積分性は \(n\) 個の複素座標関数を実際に構成する存在主張である。線形代数だけでは橋渡しできず、\(\bar\partial_J z^k=0\) 型の偏微分方程式を、座標になるだけ十分独立な解を持つように解く必要がある。

証明概略。 標準構造に近い局所座標を選び、求める新座標を未知関数とする。\(N_J=0\) は、この連立方程式の整合条件になる。解析的評価と反復法によって解を作り、その微分が点で可逆になるよう初期データを選ぶ。逆関数定理により、それらは局所座標になる。難所は、方程式を形式的に書くことではなく、微分の損失を制御しながら十分な正則性の解を得ることである。

この定理によって、座標帳による定義とテンソルによる定義が結ばれる。次章では \(T^{1,0}\), \(T^{0,1}\) を固有空間として構成し、この定理の第三の条件を正確に読み直す。