付録

図表・一次資料・次の学習経路

付録A　図表一覧

この章で知りたいこと

図がどの直感を支えるか。

番号 内容
図1 固定点で観測するEuler表示と、一つの粒子を追うLagrange表示。物質微分は両者をつなぐ。
図2 非圧縮でも伸長と圧縮は同時に起こり得る。面積は同じだが形は変わる。
図3 平行板の設定と解の速度場。下板は静止、上板は一定速度で動く。
図4 静止した平行板間の圧力駆動流。速度は壁でゼロ、中心で最大となる。
図5 円管内の放物面型速度分布。半径方向の面積要素が流量計算で効く。
図6 壁の運動量が粘性で拡散する。相似変数により各時刻の曲線が一つに重なる。
図7 波数が大きいほど波長は短く、粘性による減衰率は波数の2乗で増える。
図8 特性線が集まり、交差する。交差後に滑らかな一価関数を続けることはできない。
図9 粘性は不連続な交差の代わりに有限幅の遷移層を作る。粘性が小さいほど層は薄い。
図10 移流が距離Lを運ぶ時間と、粘性が同じ距離を拡散する時間の比がReynolds数である。
図11 λを大きくすると、対応解は高く細くなる。同じ一つの解が時間発展で必ずこの形へ集中する、という主張ではない。
図12 積のFourier変換は畳み込みとなり、モードpとqがモードp+qへ結合する。
図13 局在sourceから離れても3次元Green核はゼロにならない。距離4倍なら単位sourceの寄与は1/4になる。
図14 同じ渦度でもstrain固有方向との配向で増幅と減衰が分かれる。上段Aは正固有値方向、下段Bは負固有値方向。長さ2倍・断面積1/2・渦度2倍は、非粘性かつ一様な軸対称伸長という直感模型に限る。
図15 2次元では渦度は面に垂直なスカラー。3次元では渦管方向にも速度が変化できる。
図16 周期箱の二次元Taylor-Green渦。渦セルは存在するが、振幅は粘性で指数減衰する。
図17 周期二次元せん断層の数値計算。色は渦度、矢印は速度。分布した渦度帯が曲がり、渦核へ組織化される。
図18 支持領域が縮むと有限pノルムは小さくなるが、最大値ノルムは高さをそのまま見る。
図19 λを変えたときのLpノルム比。p=3だけが水平で、p=2は微細化で弱く、p=6は強くなる。
図20 危険な自己強化ループと、それに対抗する粘性。総エネルギーの有界性だけではループを止めきれない。
図21 球面上の速度は点ごとに異なる接平面に属する。異なる点のベクトルを比較するには、平行移動という規則が必要になる。
図22 Hodge分解は平面のHelmholtz分解を閉曲面へ拡張する。S²では調和1-form成分が消えるが、回転勾配成分は豊富に残る。
図23 剛体回転u=Ω×xは非自明なKilling場で、極に零点を持つ。harmonic 1-formがないこと、流れがないこと、毛玉定理は別の主張である。
図24 元の時空間では特異点へ向かう円柱が縮む。rescaling後は全てを同じ大きさで観察でき、縮尺ごとの形を比較できる。
図25 左：空間半径rに時間幅r²を組み合わせる放物型円柱。右：各特異点が最低量の集中を必要とするなら、小円柱による被覆の総半径が制約される。

付録B　参考文献・一次資料

この章で知りたいこと

公式定式化、既知結果、球面上の方程式をどの資料で確認したか。

[1] C. L. Fefferman, Existence and Smoothness of the Navier-Stokes Equation, Clay Mathematics Institute official problem description, The Millennium Prize Problems, pp.57-67.

[2] Clay Mathematics Institute, Navier-Stokes Announcement, 11 September 2026. https://www.claymath.org/news/navier-stokes-announcement/

[3] Clay Mathematics Institute, Navier-Stokes Equation official problem page, classification Active, accessed 27 September 2026. https://www.claymath.org/millennium/navier-stokes-equation/

[4] OpenAI, On the Navier-Stokes Millennium Prize Problem, 8 September 2026. https://openai.com/index/navier-stokes-solution/

[5] J. Leray, Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace, Acta Mathematica 63 (1934), 193-248.

[6] O. A. Ladyzhenskaya, The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow, 2nd ed., 1969.

[7] L. Caffarelli, R. Kohn, L. Nirenberg, Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations, CPAM 35 (1982), 771-831.

[8] L. Escauriaza, G. Seregin, V. Sverak, L3,infinity-solutions of Navier-Stokes equations and backward uniqueness, Russian Mathematical Surveys 58 (2003), 211-250.

[9] T. Tao, Why global regularity for Navier-Stokes is hard, expository article, 2007; and 254A Notes 1, 2018.

[10] A. J. Majda, A. L. Bertozzi, Vorticity and Incompressible Flow, Cambridge University Press, 2002.

[11] C. Cao, M. A. Rammaha, E. S. Titi, The Navier-Stokes equations on the rotating 2-D sphere: Gevrey regularity and asymptotic degrees of freedom, ZAMP 50 (1999), 341-360, DOI 10.1007/PL00001493.

[12] R. Temam, Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, AMS Chelsea.

[13] P. Constantin, C. Foias, Navier-Stokes Equations, University of Chicago Press, 1988.

[14] J. Necas, M. Ruzicka, V. Sverak, On Leray’s self-similar solutions of the Navier-Stokes equations, Acta Mathematica 176 (1996), 283-294.

[15] T.-P. Tsai, On Leray’s self-similar solutions of the Navier-Stokes equations satisfying local energy estimates, Archive for Rational Mechanics and Analysis 143 (1998), 29-51.

資料の使い分け

公式問題のA/B/C/Dと条件は[1]、2026年9月の外部状態は[2][3]を優先した。解析の標準事項は原論文と専門書、S²は球面上のNavier-Stokes原著を参照した。

付録C　今後さらに深掘りできる発展トピック

この章で知りたいこと

本書の次にどの方向へ進めるか。

方向 次の問い
臨界空間 L³、Ḣ1/2、BMO^-1の小データ理論は熱半群推定でどう閉じるか
正則性規準 Serrin条件や渦度方向の幾何学的整列は何を排除するか
弱解の一意性 energy inequalityとweak-strong uniquenessはどう関係するか
乱流 Kolmogorovスケールと数学的臨界性はどこまで同じでどこから違うか
数値解析 擬スペクトル法のaliasing、CFL条件、収束検証、渦度保存をどう確認するか
幾何流体力学 Euler方程式を体積保存微分同相群上の測地線としてどう読むか
曲面・薄領域 S²、一般Riemann面、薄い三次元球殻の極限はどう接続するか
2026年成果 公表証明の強制項・局所化・形式検証・公式認定を一次資料で追跡する