参考文献

確認日：2026年10月4日。

基本文献

  1. Joseph H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 106, Springer, 2009. 楕円曲線、Mordell–Weil 定理、高さ、還元の標準文献。
  2. Joseph H. Silverman and John Tate, Rational Points on Elliptic Curves, 2nd ed., Springer, 2015. 弦接法から descent までの導入。
  3. John Cremona, Algorithms for Modular Elliptic Curves, 2nd ed., Cambridge University Press, 1997. rank、導手、局所データの計算法。
  4. J. W. S. Cassels, “Arithmetic on curves of genus 1. VIII,” Journal für die reine und angewandte Mathematik 217 (1965), 180–199. Selmer 群と Tate–Shafarevich 群の古典的基礎。
  5. Fred Diamond and Jerry Shurman, A First Course in Modular Forms, Graduate Texts in Mathematics 228, Springer, 2005. 保型形式、Hecke 作用素、Mellin 変換と \(L\) 関数の標準的導入。
  6. J.-P. Serre, Abelian \(\ell\)-Adic Representations and Elliptic Curves, 2nd ed., A K Peters, 1998. Tate module と Frobenius 表現。

BSD と研究状況

  1. Andrew Wiles, “The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture”, Clay Mathematics Institute official problem description. 予想、歴史、強い形の公式。Clay の問題ページも参照。
  2. B. J. Birch and H. P. F. Swinnerton-Dyer, “Notes on elliptic curves. I,” Journal für die reine und angewandte Mathematik 212 (1963), 7–25; “II,” 218 (1965), 79–108. 初期の数値実験と予想。
  3. Benedict H. Gross and Don B. Zagier, “Heegner Points and Derivatives of L-Series”, Inventiones Mathematicae 84 (1986), 225–320. \(L\) 関数の微分と Heegner 点の高さ。
  4. V. A. Kolyvagin, “Finiteness of \(E(\mathbb Q)\) and \(\Sha(E,\mathbb Q)\) for a subclass of Weil curves,” Izvestiya Akademii Nauk SSSR 52 (1988); English translation, Mathematics of the USSR-Izvestiya 32 (1989), 523–541. Euler system による rank と \(\Sha\) の制御。
  5. Christopher Skinner, “A converse to a theorem of Gross, Zagier, and Kolyvagin”, Annals of Mathematics 191 (2020), 329–354. rank 1 の逆向きと Iwasawa 理論、既知結果の条件の整理。
  6. Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, and Richard Taylor, “On the modularity of elliptic curves over Q: wild 3-adic exercises”, Journal of the American Mathematical Society 14 (2001), 843–939. \(\mathbb Q\) 上の全楕円曲線の保型性を完成。

曲線データ

  1. LMFDB, curve 1728.o3: \(y^2=x^3-2\). rank 1、analytic rank 1、生成元 \((3,5)\)、torsion 自明、導手1728、悪い素数2,3。
  2. LMFDB, curve 32.a3: \(y^2=x^3-x\). rank 0、torsion \((\mathbb Z/2\mathbb Z)^2\)、導手32。

局所・大域原理の具体例

  1. J. W. S. Cassels, Lectures on Elliptic Curves, London Mathematical Society Student Texts 24, Cambridge University Press, 1991, Chapter 18. Selmer の三次曲線 \(3X^3+4Y^3+5Z^3=0\)、その Jacobian、局所・大域原理の失敗。

読み進める順序

弦接法と高さは Silverman–Tate、厳密な算術は Silverman、計算は Cremona、BSD の定式化と現状の入口は Wiles、rank 1 の橋は Gross–Zagier と Kolyvagin の順に読むと、本教材の流れを保ったまま深められる。