音から長さを測る――一本の弦と最初の逆問題
微小区間に働く力
長さ \(L\)、線密度 \(\mu\,[\mathrm{kg/m}]\)、一定張力 \(T\,[\mathrm N]\) の細い弦を考える。平衡位置からの横変位を \(u(x,t)\) とし、変位と傾きが小さい範囲に限る。区間 \([x,x+\Delta x]\) の両端では、張力ベクトルは弦の接線方向を向く。傾斜角を \(\theta\) とすると鉛直成分は \(T\sin\theta\) である。
小傾斜なら
\[ \sin\theta\simeq\tan\theta=u_x. \]
左右の鉛直成分を引くと
\[ F_y=T\{u_x(x+\Delta x,t)-u_x(x,t)\} =T u_{xx}(x,t)\Delta x+o(\Delta x). \]
微小区間の質量は \(\mu\Delta x\)。Newton の運動方程式 \(ma=F\) より
\[ \mu\Delta x\,u_{tt}=T\Delta x\,u_{xx}+o(\Delta x). \]
\(\Delta x\) で割って極限を取ると
\[ u_{tt}=c^2u_{xx},\qquad c^2=\frac{T}{\mu}. \tag{1.1} \]
単位も整合する。\(T/\mu\) の単位は \(\mathrm{m^2/s^2}\) なので、\(c\) は速度である。小傾斜・一様張力・曲げ剛性を無視するという仮定を外せば、この方程式は変わる。
固定端が波長を選ぶ
両端固定は \(u(0,t)=u(L,t)=0\) を意味する。\(u=X(x)\tau(t)\) を式 (1.1) に代入すると
\[ X\tau''=c^2X''\tau. \]
非零の領域で割って
\[ \frac{\tau''}{c^2\tau}=\frac{X''}{X}. \]
左辺は \(t\) だけ、右辺は \(x\) だけの関数である。任意の \(x,t\) で等しいには共通の定数でなければならない。これを \(-\lambda\) と置く。
\(\lambda<0\) なら時間解は指数的で通常振動にならず、空間側も固定端を満たす非零解を持たない。\(\lambda=0\) でも空間解は一次関数で、両端ゼロなら零関数である。したがって \(\lambda>0\) のみが残り、
\[ -X''=\lambda X,\qquad \tau''+c^2\lambda\tau=0. \]
境界条件から
\[ X_n(x)=\sin\frac{n\pi x}{L},\quad \lambda_n=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2,\qquad n=1,2,\ldots \]
を得る。弦長に半波長が整数個入るという図形的説明と同じ条件である。
時間解の角振動数は \(\omega_n=c\sqrt{\lambda_n}\)。一秒あたりの周期数 \(f_n=\omega_n/(2\pi)\) は
\[ f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}. \tag{1.2} \]
単一モードは一つの形を保って振動する。一般の初期変位は正弦級数に展開され、多数のモードの重ね合わせになる。線形方程式だから和も解である。
最初の逆問題
\(T\) と \(\mu\) が既知なら、基本振動数から
\[ L=\frac{1}{2f_1}\sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
と長さを戻せる。しかし \(T/\mu\) も未知なら \(f_1\) だけでは分離できない。逆問題では「未知量」と「観測量」の契約が答えを決める。
- 張力を4倍にすると周波数は何倍か。2. 長さを2倍にすると固有値と周波数はどう変わるか。3. 弦の端を固定しなければ、波長選択はどう変わるか。
- 式 (1.2) の \(f_n\propto\sqrt T\) より2倍。2. \(\lambda_n\propto L^{-2}\) なので \(1/4\)、\(f_n\propto L^{-1}\) なので \(1/2\)。3. 境界条件を指定しない限り許される波数は決まらない。自由端なら \(X'(0)=X'(L)=0\) となり、余弦モードに加えて周波数0の剛体移動が現れる。