何が聞こえ、何が聞こえないか

追加データは何を加えるか

点 \(x_0\) を初期変位で叩き、点 \(x_1\) で測る理想応答には

\[ \sum_k \phi_k(x_0)\phi_k(x_1) \frac{\sin(c\sqrt{\lambda_k}t)}{c\sqrt{\lambda_k}} \]

のような係数が現れる。周波数だけでなく固有関数の積を測っている。重複固有値では個々の基底関数値は基底依存だが、同じ固有空間について \(\sum_{j=1}^m\phi_j(x_0)\phi_j(x_1)\) というスペクトル射影核は基底に依らない。

境界スペクトルデータは固有値と境界上の法線微分を組にし、Dirichlet-to-Neumann 写像は境界入力全体への応答を与える。これらは裸の固有値列より強く、一意性が成り立つ設定がある。ただし「固有関数を座標付きで全部知る」こと自体、位置情報を観測に追加している。

実験の振幅はさらに、未知の加振力、センサー感度、減衰率、空気との結合、膜の面密度にも依存する。同じ小さな振幅が「そのモードの固有関数が観測点で小さい」のか、「打点が節線に近い」のか、「その周波数だけ減衰が強い」のかは、追加較正なしには識別できない。振幅情報は強いが、自動的に幾何情報へ変換されるわけではない。

穴・面積・周長

滑らかな連結平面領域というクラスを固定すれば、熱トレースから面積、周長、Euler 標数が分かり、Euler 標数から穴数が分かる。多角形や非連結領域では同じ結論を同じ係数から無条件に出してはいけない。聞こえる量は対象クラスと境界正則性に依存する。

有限スペクトルで長方形を推定する

長方形という二パラメータ族に限れば、Weyl から面積 \(A=ab\) を推定し、低固有値や境界長 \(P=2(a+b)\) を組み合わせて \(a,b\) を二次方程式の根として復元できる。一般領域では同じ \(A,P\) を持つ形が無数にあり、この成功は強いモデル制約のおかげである。

モード番号まで同定できる場合はさらに直接的である。\(x=a^{-2},y=b^{-2}\) と置くと

\[ \frac1{\pi^2}\begin{pmatrix}\lambda_{11}\\\lambda_{21}\\\lambda_{12}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&1\\4&1\\1&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}. \]

雑音付きではこの3×2系を最小二乗で解き、\(a=x^{-1/2},b=y^{-1/2}\) と戻す。真値 \((a,b)=(2,1)\) に対し、三固有値へ符号の異なる相対雑音を加えた一例は次の通りである。

雑音規模	推定 \(a\)	推定 \(b\)
0%	2.0000	1.0000
0.1%	2.0025	0.9996
1%	2.0257	0.9963

これは長方形族・モード同定済みという強い仮定下の安定性である。一般形状へ候補を広げると、三個の数に対して未知境界は関数なので不定になる。

モード番号を誤るとどうなるか

真の三測定を \((1,1),(2,1),(1,2)\) から得たのに、第二測定を誤って \((3,1)\) とラベル付けしたとする。係数行列の第二行を \((4,1)\) から \((9,1)\) に変えて同じ最小二乗を行うと

\[ (\widehat a,\widehat b)=(3.0504,0.9799) \]

となる。固有値に雑音を一切加えていないのに、長辺は真値2から約53%ずれる。残差が0でないためモデル不整合を検出できる場合はあるが、近接固有値・重複固有値・欠測があるとモード対応そのものが離散的な未知量になる。前表の「1%なら形状も約1%」という読み方は誤りである。

一意性と安定性

一意性は \(F(\Omega_1)=F(\Omega_2)\Rightarrow\Omega_1\cong\Omega_2\)。安定性は選んだ距離について

\[ d_{\mathrm{shape}}(\Omega_1,\Omega_2) \le\Psi(d_{\mathrm{data}}(F(\Omega_1),F(\Omega_2))),\qquad \Psi(\varepsilon)\to0 \]

を問う。形状距離には閉包の Hausdorff 距離、境界をグラフ表示した関数の \(C^k\) ノルムなどがあり、データ距離には最初の \(N\) 固有値の重み付き \(\ell^2\) 距離などがある。選び方は定理の一部である。

一意でも不安定な最小模型は

\[ F_\varepsilon(x,y)=(x,\varepsilon y),\qquad 0<\varepsilon\ll1 \]

である。写像は単射だが、第二データの誤差 \(\delta\) は逆写像で \(\delta/\varepsilon\) に増幅される。逆問題では「解が一つしかない」と「誤差に耐えて計算できる」の間に条件数という隔たりがある。

境界を外向き法線方向へ \(t h(s)\) だけ動かす。\(L^2\)-正規化した Dirichlet 固有関数 \(\phi_k\) に対応する固有値 \(\lambda_k\) が単純なら、Hadamard の変分公式は

\[ \lambda_k'(0)=-\int_{\partial\Omega}h(s) \left|\partial_n\phi_k(s)\right|^2\,ds \tag{12.1} \]

を与える。したがって、最初の \(N\) 固有値がすべて単純な範囲では、その一次変化は \(h\) に対する \(N\) 個の線形汎関数である。関数空間には、それら全てを0にする非自明な方向が無限に残る。高次項まで含めれば完全一致するという意味ではないが、有限個の測定だけでは一般境界の全自由度を強く拘束できない理由を示す。

重複固有値では、番号を付けた個々の \(\lambda_k(t)\) に同じ公式をそのまま当ててはいけない。重複度 \(m\) の固有空間で正規直交基底 \(\phi_1,\ldots,\phi_m\) を取ると、一次の分裂は境界積分行列

\[ B_{ij}=-\int_{\partial\Omega}h(s) \,\partial_n\phi_i(s)\,\partial_n\phi_j(s)\,ds \tag{12.2} \]

の固有値で決まる。昇順に並べ直した固有値列は交差点で微分可能とは限らないので、重複を無視した「各固有値の微分」という表現は避ける。

低次固有値は大域形状を主に見て、細かな境界凹凸に鈍い場合がある。高次ほど細部へ敏感だが測定誤差も大きい。正則化は、滑らかさ、凸性、有限パラメータ表示などを課し、データ適合度と複雑さの罰則を同時に最小化する。これは失われた情報を魔法で戻すのではなく、追加仮定で候補を選ぶ操作である。

たとえば境界をパラメータ \(p\) で表し、観測を \(\widehat\lambda_k\) とすれば

\[ \min_p\left\{ \sum_{k=1}^Nw_k|\lambda_k(p)-\widehat\lambda_k|^2 +\alpha\,\mathcal R(p) \right\} \]

を解く。\(\mathcal R\) は境界曲率の振動やパラメータの粗さを罰し、\(\alpha\) はデータ適合と滑らかさの交換条件を決める。

\(\alpha\) が小さすぎれば測定雑音まで境界の細かな凹凸として追い、大きすぎれば真の特徴まで丸める。したがって正則化解は「スペクトルだけが選んだ唯一の形」ではなく、「データと選択した罰則が共同で選んだ形」である。異なる shape metric、重み \(w_k\)、罰則を用いれば安定性評価も推定形も変わり得る。

等スペクトル反例は一般クラスの一意性を壊す。一方、円板や特定の解析的対称領域では剛性があり得る。反例の存在と条件付き一意性は矛盾しない。

1. \(F_\varepsilon(x,y)=(x,\varepsilon y)\) で第二成分の測定誤差が \(10^{-4}\)、\(\varepsilon=10^{-3}\) のとき、復元した \(y\) の誤差上限を求めよ。
2. 重複固有値に Hadamard の単純固有値公式を個別に適用できない理由を説明せよ。

ノート解答・ヒント

1. 逆写像で \(10^{-4}/10^{-3}=10^{-1}\) に増幅される。
2. 摂動で重複固有空間が複数の枝へ分裂し、基底の選び方も一意でない。一次変化は式 (12.2) の行列の固有値として基底不変に扱う。