解ける形――区間・長方形・円板
抽象的な固有値列を、添字・重複度・節線・スケーリングという目で読めるようにする章である。区間は境界条件、長方形は変数分離、円板は対称性による縮退をそれぞれ可視化する。
区間
\(-X''=\lambda X\), \(X(0)=X(L)=0\) を解く。もし \(\lambda=-\mu^2<0\) なら \(X=Ae^{\mu x}+Be^{-\mu x}\) で、二つの端点条件から自明解しかない。\(\lambda=0\) なら \(X=A+Bx\) で、同じく自明解しかない。\(\lambda=k^2>0\) のとき
\[ X=A\cos kx+B\sin kx \]
となり、\(X(0)=0\) から \(A=0\)、\(X(L)=0\) から \(\sin kL=0\) である。非自明解には \(kL=n\pi\), \(n\ge1\) が必要なので
\[ X_n=\sin(n\pi x/L),\qquad \lambda_n=(n\pi/L)^2. \]
Neumann 条件なら \(X_n=\cos(n\pi x/L)\), \(n=0,1,\ldots\)。正の固有値は同じでもゼロモードが加わる。初期変位 \(f(x)\) と初期速度 \(g(x)\) に対する Dirichlet 波動解は
\[ u(x,t)=\sum_{n\ge1}\left[ \langle f,X_n\rangle_N\cos(cn\pi t/L) +\frac{L\langle g,X_n\rangle_N}{cn\pi}\sin(cn\pi t/L) \right]X_n(x), \]
ここで \(\langle h,X_n\rangle_N=(2/L)\int_0^Lh(x)X_n(x)\,dx\) は正規化した正弦係数である。固有値問題を解くことが初期値問題を解くことへどう戻るかが、この式で見える。
長方形
\(\Omega=(0,a)\times(0,b)\) で \(\phi=XY\) と置けば
\[ -\frac{X''}{X}-\frac{Y''}{Y}=\lambda. \]
二項は独立な変数の関数なので定数であり、一次元問題を二つ解いて
\[ \phi_{m,n}=\sin\frac{m\pi x}{a}\sin\frac{n\pi y}{b},\qquad \lambda_{m,n}=\pi^2\left(\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2}\right),\qquad m,n\ge1. \tag{4.1} \]
正方形では \((m,n)\) と \((n,m)\) が同じ値を与える。単位正方形の最初は \(2\pi^2\), \(5\pi^2\)（重複度2）, \(8\pi^2\), \(10\pi^2\)（重複度2）である。辺を \(1\times1.03\) に変えると \((1,2)\) と \((2,1)\) は分裂する。対称性が縮退を生む様子が数値で見える。
極座標 Laplacian
\(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\) とする。\(r_x=\cos\theta,r_y=\sin\theta,\theta_x=-\sin\theta/r,\theta_y=\cos\theta/r\) なので、一階微分は
\[ \partial_x=\cos\theta\,\partial_r-\frac{\sin\theta}{r}\partial_\theta,\qquad \partial_y=\sin\theta\,\partial_r+\frac{\cos\theta}{r}\partial_\theta. \]
これらをもう一度作用させて足す。\(\partial_r\partial_\theta\) の交差項は相殺し、係数自身を微分する項から \(r^{-1}\partial_r\) が残る。その結果
\[ \Delta=\partial_r^2+\frac1r\partial_r+\frac1{r^2}\partial_\theta^2. \]
係数 \(1/r\), \(1/r^2\) は円周方向の尺度が半径とともに伸びることから生じる。半径 \(R\) の円板で \(\phi=F(r)\Theta(\theta)\) と置き、\(-\Delta\phi=\lambda\phi\) に代入して \(r^2/(F\Theta)\) を掛けると
\[ -\frac{r^2F''+rF'}F-\frac{\Theta''}{\Theta}=\lambda r^2. \]
角度は \(2\pi\) 周期なので \(\Theta''+\ell^2\Theta=0\), \(\ell=0,1,2,\ldots\)。半径側は
\[ r^2F''+rF'+(\lambda r^2-\ell^2)F=0. \tag{4.2} \]
\(s=\sqrt\lambda r\) と置けば Bessel 方程式になる。二つの独立解 \(J_\ell(s),Y_\ell(s)\) のうち、\(Y_\ell\) は \(r=0\) で発散するため、円板全体で有限な振動形から除く。Dirichlet 条件 \(F(R)=0\) は
\[ J_\ell(\sqrt\lambda R)=0 \]
を要求する。第 \(p\) 正零点を \(j_{\ell,p}\) と書けば
\[ \lambda_{\ell,p}=j_{\ell,p}^2/R^2. \tag{4.3} \]
実固有関数は
\[ \phi_{\ell,p}^{c}(r,\theta) =C_{\ell,p}J_\ell(j_{\ell,p}r/R)\cos(\ell\theta),\qquad \phi_{\ell,p}^{s}(r,\theta) =C_{\ell,p}J_\ell(j_{\ell,p}r/R)\sin(\ell\theta) \]
と書ける。定数 \(C_{\ell,p}\) は \(\int_{B_R}|\phi|^2=1\) となるよう選ぶ正規化で、固有値自体には影響しない。\(\ell=0\) では正弦側がゼロなので重複度1、\(\ell\ge1\) では余弦・正弦が独立なので重複度2である。角番号 \(\ell\) は中心を通る節直径の本数、半径番号 \(p\) は境界を含めて半径方向に何番目の零点を選ぶかを表す。\(p\ge2\) なら内部に \(p-1\) 本の節円がある。
最初の零点は次のように並ぶ。
| 角番号 \(\ell\) | \(j_{\ell,1}\) | \(j_{\ell,2}\) | 円板での重複度（\(\ell>0\)） |
|---|---|---|---|
| 0 | 2.4048 | 5.5201 | 1 |
| 1 | 3.8317 | 7.0156 | 2 |
| 2 | 5.1356 | 8.4172 | 2 |
半径1の円板では第一固有値は \(j_{0,1}^2\approx5.783\)、次は \(j_{1,1}^2\approx14.682\) で重複度2となる。\(J_\ell\) のグラフが横軸を横切る位置が半径方向の許容波数であり、その順序が実際の音の順序を決める。
スケーリング
\(\psi(y)=\phi(y/r)\) と置けば微分二回で \(r^{-2}\) が出るため
\[ \lambda_k(r\Omega)=r^{-2}\lambda_k(\Omega),\qquad f_k(r\Omega)=r^{-1}f_k(\Omega). \tag{4.4} \]
この法則は Weyl 則の指数を予告する。
前向き計算と逆向き推定
辺長 \(a,b\) から式 (4.1) の固有値を作る前向き計算は直接的である。逆に、数値 \(5\pi^2\) を一つ見ただけでは、それが \((1,2)\) か \((2,1)\) か、別の辺長から来たのか分からない。モード番号まで同定できれば \(\lambda_{11},\lambda_{21},\lambda_{12}\) は \(a^{-2},b^{-2}\) の線形方程式になるが、番号を失ったスペクトルは並べ替えられた数列である。この「前向きは式、逆向きは対応付けも未知」という差を次章で定式化する。
- 単位正方形を3倍に拡大した正方形の第一 Dirichlet 固有値を求めよ。
- 単位円板で \(\ell=1,p=1\) の固有値が重複度2になる理由を、回転対称性と固有関数から説明せよ。
- 単位正方形では \(\lambda_{11}=2\pi^2\)。式 (4.4) より \(2\pi^2/9\)。
- \(J_1(j_{1,1}r)\cos\theta\) と \(J_1(j_{1,1}r)\sin\theta\) が独立で同じ固有値を持つ。回転するとこの二次元固有空間の中で混ざる。