第6章　因子と型：射影の「大きさ」を測り直す

Core — I/II/III型を一覧表ではなく次元論として理解する。

6.1 中心は古典的な分解可能性を測る

von Neumann環 $M\subset B(H)$ の中心は

$$ Z(M)=MM’

である。中心の射影 $z$ があれば

$$ M=zM(1-z)M

と分解できる。つまり中心は、すべての観測と可換する古典的なラベルを記録する。中心が $\mathbb C1$ だけのvon Neumann環を因子という。因子は中心によってこれ以上分解できない成分であり、一般のvon Neumann環は因子の直積分として理解される。

6.2 射影をrankなしで比較する

有限次元では射影の大きさは像の次元、すなわちrankで測れる。無限次元の因子ではrankの整数値だけでは粗すぎる。そこで $p,q\in M$ に対して、あるpartial isometry $v\in M$ が

$$ v^v=p,vv^=q

を満たすとき $p\sim q$ と定義する。$v$ は $pH$ から $qH$ への等長同型を実装するので、これは「$M$ の内部で同じ次元」を意味する。

$p\precsim q$ は、$p$ が $q$ の部分射影と同値であることを表す。因子では任意の二射影がこの前順序で比較可能になる。比較理論が型分類の土台である。

6.3 finite・infinite・properly infinite

射影 $p$ が有限であるとは、$q\le p$ かつ $q\sim p$ なら $q=p$ となることをいう。真部分に自分自身と同じ大きさのコピーを含む射影は無限である。

shiftはこの現象を見せる。$B(\ell^2)$ で $S^*S=1$、$SS^*=1-P_{e_0}<1$ だから、$1\sim1-P_{e_0}$。無限次元Hilbert空間が真部分空間とユニタリ同型になれるという集合論的事実が、環内部のpartial isometryとして記録される。

互いに直交する $p_1,p_2\le p$ で $p_1\sim p\sim p_2$ が存在するとき $p$ はproperly infiniteである。

6.4 traceは非可換な体積である

有限次元行列のtraceは

$$ (ab)=(ba)

を満たし、射影 $p$ に対してrank $p$ を返す。von Neumann環上のtraceは、正値元に値を取る加法的写像で、巡回性に相当する $\tau(x^*x)=\tau(xx^*)$ を満たす。正規・忠実・半有限などの条件は、極限、零元の検出、有限な測定範囲をそれぞれ保証する。

有限trace $\tau(1)<\infty$ があれば $\tau(p)$ は射影の連続的な次元候補になる。しかしすべての因子にそのようなtraceがあるわけではない。traceの存在可能性そのものが型を分ける。

6.5 I型：最小射影がある世界

非零射影 $p$ がminimalであるとは、$0<q\le p$ なら $q=p$ となることをいう。I型因子はminimal projectionを持ち、$B(H)$ と同型である。

$I_n$: $H\cong\mathbb C^n$。射影の次元は $0,1,\ldots,n$。
$I_\infty$: $H$ は無限次元。有限rank射影と無限射影が共存する。

I型は通常の量子力学で現れる「Hilbert空間上の全作用素」という世界であり、原子的な最小射影がある。

6.6 II型：原子なしの有限性

II型因子にはminimal projectionがないが、非零の有限射影がある。

$II_1$: 単位元が有限。正規化された一意の忠実normal trace $\tau(1)=1$ を持ち、射影の次元値は連続区間 $[0,1]$ を埋める。
$II_\infty$: 単位元は無限だが有限射影があり、半有限traceを持つ。典型的に $II_1$ 因子と $B(\ell^2)$ のテンソル積で得られる。

「連続的次元」とはベクトル空間の次元を実数に置き換える比喩だけではない。Murray–von Neumann同値類に対して加法的で、順序を保つ次元関数が実際に存在し、$II_1$ 因子では任意の $t\in[0,1]$ をtraceにもつ射影が存在する。

6.7 III型：非零有限射影がない世界

III型因子ではすべての非零射影が無限であり、非零の半有限normal traceは存在しない。これは「traceをまだ見つけていない」という技術的不足ではなく、環の射影構造がtraceによる体積測定を禁止している。

Connesのより細かい分類ではIII型を $III_\lambda$（$0\le\lambda\le1$）に分ける。ここでは完全な分類証明を扱わない。重要なのは、分類にモジュラー自己同型群とそのスペクトル的不変量が入ることである。

6.8 型分類を一枚にまとめる

型	minimal projection	非零有限射影	traceによる次元	典型例
$I_n$	あり	あり	整数 $0,\dots,n$	$M_n(\mathbb C)$
$I_\infty$	あり	あり	rank、全体は無限	$B(\ell^2)$
$II_1$	なし	あり、$1$も有限	$[0,1]$	超有限 $II_1$ 因子
$II_\infty$	なし	あり、$1$は無限	$[0,\infty]$	$R\bar\otimes B(\ell^2)$
III	なし	なし	半有限traceなし	局所量子場理論の局所代数

表は判定結果であって定義の代わりではない。各行は「射影を環内部でどう比較できるか」という問題への異なる答えである。

6.9 なぜ量子場理論でIII型が現れるのか

相対論的量子場理論では、時空領域 $O$ に局所観測代数 $\mathcal A(O)$ を対応させる。無限に多くの短距離自由度と真空の強いentanglementのため、局所代数は有限自由度系の $B(H_O)$ のようには分解しない。標準的なAQFTの広いクラスでは、核性・split・scaling limitなど追加の構造条件の下で、局所von Neumann環が超有限 $III_1$ 因子になる結果が知られている。

ここで三つの主張を区別する。

III型因子 $M$ の内部には忠実正規半有限traceがないため、状態を $\varphi(x)=\tau(hx)$ と一意な「密度」$h\in L^1(M,\tau)$ で表す半有限環の記述は使えない。
具体表現 $M\subset B(H)$ を固定すれば、normal汎関数がambientな $B(H)$ 上のtrace-class作用素の制限として表せる場合はある。その作用素は $M$ に内在的な密度行列ではなく、表現にも依存し、一般に一意でない。
時空を鋭く二分したときに $H\cong H_O\otimes H_{O'}$ とtype I的に因子分解し、部分traceでreduced density operatorとvon Neumann entropyを作る描像は、そのままでは局所III型代数に適用できない。

したがって「III型には密度行列がない」という短い言い方は避ける。また「すべてのQFTの局所代数が必ず $III_1$」とも断定できず、モデルと仮定に依存する。[Haag; Yngvason; Takesaki I]

6.10 Tomita–Takesaki理論への入口

$M\subset B(H)$ と、$M$ に対して巡回かつ分離的なベクトル $\Omega$ を取る。密に定義された反線形作用素

$$ S_0(x)=x^*(xM)

を閉包し、極分解

$$ S=J^{1/2}

を取る。$J$ は反ユニタリなモジュラー共役、$\Delta$ は正の自己共役なモジュラー作用素である。Tomita–Takesaki定理は

$$ JMJ=M’,^{it}M{-it}=M

を主張する。したがって

$$ _t^(x)={it}x^{-it}

は $M$ の一径数自己同型群になる。

可換確率では測度と関数の積は可換なので、この時間発展は自明化しやすい。非可換環では状態が代数に内在的な力学を誘導する。平衡統計力学のKMS条件はこのモジュラー群と結びつく。詳細な証明は本書の範囲外だが、「状態と時間発展の関係」はIII型でtraceが失われた後の代替構造として現れる。

6.11 章末の確認

中心射影が環を直和分解することを示せ。
$S$ を使って $1\sim1-P_{e_0}$ を確認せよ。
$II_1$ の連続次元と $I_n$ のrankの違いを述べよ。
III型を「traceがない」だけでなく射影の有限性から説明せよ。
モジュラー群が「状態から生じる時間」と呼ばれる理由を式で説明せよ。