第7章　K理論：変形で壊れない射影とユニタリ

Core — ベクトル束、射影、射影加群を同じ対象の三つの姿として再構成する。

7.1 なぜ作用素環にK理論が現れるのか

位相的K理論を「ベクトル束の形式差」とだけ覚えると、作用素環との再会は偶然に見える。鍵は次の連鎖である。

\[ \boxed{ \text{ベクトル束} \longleftrightarrow \text{有限生成射影 }C(X)\text{-加群} \longleftrightarrow \text{行列環上の射影} } \]

最後の表現は可換性を使わない。したがって射影からK群を作る定義は、そのまま非可換 $C^*$-環へ移せる。

7.2 ベクトル束から加群へ

コンパクトHausdorff空間 $X$ 上の複素ベクトル束 $E\to X$ の連続切断全体 $\Gamma(E)$ は、

$$ (fs)(x)=f(x)s(x)

により $C(X)$-加群になる。局所自明性とコンパクト性から有限個の切断で生成できる。しかし一般に自由加群 $C(X)^n$ ではない。非自明な束がまさに自由でないことを表す。

それでも補束 $F$ を選べば、ある $N$ に対して

$$ EFXC^N

となる。切断を取ると

$$ (E)(F)C(X)^N.

つまり $\Gamma(E)$ は有限生成自由加群の直和因子、すなわち有限生成射影加群である。

7.3 射影行列から束を作る

$p=p^*=p^2\in M_n(C(X))$ を取る。各点で $p(x)$ は $\mathbb C^n$ 上の直交射影だから

$$ E_p={(x,v)XC^n:p(x)v=v}

を考えられる。rank $p(x)$ は整数値連続関数なので各連結成分上で一定である。$x_0\in X$ で $p(x_0)$ の像の正規直交基底 $v_1,\ldots,v_r$ を選ぶと、$p(x)v_j$ は $x$ に連続に依存する。$x_0$ の近傍ではGram行列が可逆なままなので線形独立であり、連続な局所frameを与える。したがって $E_p$ は局所自明なベクトル束になる。その切断は

$$ (E_p)pC(X)^n

である。

逆に有限生成射影加群 $P$ は $P\oplus Q\cong A^n$ と書け、その直和分解への射影が冪等元を与える。$C^*$-環では適切な同値変形により自己共役な射影で表せる。

7.4 Serre–Swan定理の意味

定理（Serre–Swan）. コンパクトHausdorff空間 $X$ 上の有限rank複素ベクトル束の圏と、有限生成射影 $C(X)$-加群の圏は同値である。

[証明の概略] 束 $E$ には切断加群 $\Gamma(E)$ を対応させる。有限開被覆上の局所frameと、それに従属する1の分割 $\rho_i$ を取る。局所frameへ $\sqrt{\rho_i}$ を掛け、零で延長した有限個の大域切断を並べると、各ファイバーを張る写像 $X\times\mathbb C^N\twoheadrightarrow E$ が得られる。Hermite計量で核の直交補を取れば、ある補束 $F$ について $E\oplus F\cong X\times\mathbb C^N$ となる。よって $\Gamma(E)$ は $C(X)^N$ の直和因子である。

逆に有限生成射影加群を $pC(X)^n$ と表し、各点での像 $p(x)\mathbb C^n$ をファイバーとする。前節のGram行列の議論が局所frameを与え、$\Gamma(E_p)=pC(X)^n$ となる。束写像 $E_p\to E_q$ は切断上の $C(X)$-線形写像を与える。逆にそのような加群写像は行列 $qap$ で表され、点ごとの評価により連続な束写像を与える。したがって対象だけでなく射も保存され、二つの操作は自然同型を除いて互いに逆である。[Atiyah K; Wegge-Olsen]

重要なのは対象の集合だけでなく射も保つ圏同値だという点である。ベクトル束の幾何は、関数環上の加群の代数に翻訳される。

7.5 安定化と射影の同値

まず単位的 $C^*$-環 $A$ に対し

$$ M_(A)=_{n}M_n(A)

を、$a\mapsto\begin{pmatrix}a&0\\0&0\end{pmatrix}$ で安定化して考える。射影 $p,q$ がMurray–von Neumann同値であるとは、ある $v$ が $v^*v=p, vv^*=q$ を満たすことだった。安定化後の同値類を $[p]$ と書く。

直和

$$ [p]+[q]=[pq]

で可換モノイド $V(A)$ ができる。行列サイズを固定しないのは、ベクトル束に自明束を足す安定化と整合させるためである。

7.6 Grothendieck完備化と $K_0$

自然数モノイド $\mathbb N$ から整数群 $\mathbb Z$ を作るとき、負の自然数を実在させるのではなく対 $(m,n)$ を形式差 $m-n$ と読む。同様に、ここでは単位的 $A$ について $V(A)$ のGrothendieck群を

$$ K_0(A)=G(V(A))

と定める。元は形式差 $[p]-[q]$ で表され、

$$ [p]-[q]=[p’]-[q’]

とは、ある射影 $r$ を加えて

$$ pq’rp’qr

となることを意味する。

形式差は「負rankの束」を作るのではない。直接和に関する加法を持つ半群を、普遍的に群へ埋める操作である。コンパクト $X$ ではSerre–Swanにより

$$ K^0(X)K_0(C(X)).

これが位相的K理論と作用素環K理論の同一地点である。

非単位的環では $A$ 自身の行列環にある射影だけを数えてはいけない。たとえば $C_0(\mathbb R^2)$ の行列環には非零射影がないが、Bott類により $K_0(C_0(\mathbb R^2))\cong\mathbb Z$ である。そこで単位化 $A^+$ と商写像 $\epsilon:A^+\to\mathbb C$ を使い、

$$ K_0(A)=(K_0(A^+)K_0(C))

と定義する。射影の言葉では、$M_n(A^+)$ の射影 $p,q$ で $\epsilon(p)$ と $\epsilon(q)$ が同じrankを持つ差 $[p]-[q]$ を考える。これにより $C_0(X)$ は局所コンパクト空間のコンパクト台K理論に対応する。

基本計算

$A=\mathbb C$ では $M_n(\mathbb C)$ の射影はrankで安定同値が決まり、

\[ V(\mathbb C)\cong\mathbb N,\qquad K_0(\mathbb C)\cong\mathbb Z. \]

$M_k(\mathbb C)$ の射影も通常のrankで分類され、最小射影を生成元に取れば $K_0(M_k(\mathbb C))\cong\mathbb Z$ である。一般にも行列増幅はK理論を変えず、$K_0(M_k(A))\cong K_0(A)$ となる。これは「行列サイズを忘れる」安定化が実際の計算に現れる最初の例である。

非自明な幾何の最小例は $S^2\cong\mathbb CP^1$ 上のHopf線束である。点を $[z_0:z_1]$ と書き、$|z_0|^2+|z_1|^2=1$ の代表を選ぶと

\[ p([z_0:z_1])= \begin{pmatrix} |z_0|^2&z_0\overline{z_1}\\ z_1\overline{z_0}&|z_1|^2 \end{pmatrix} \]

は代表の位相に依らないrank-one projectionである。その像は各点が表す複素直線そのもので、$E_p$ はtautological line bundleになる。したがって $[p]-[1]\in\widetilde K^0(S^2)$ は、抽象的な形式差ではなく具体的な射影行列で書けるBott類である。完全な $\widetilde K^0(S^2)\cong\mathbb Z$ の証明はBott周期性を用いるが、射影から非自明束が生じる部分はこの式で直接確認できる。

7.7 $K_1$：ループとユニタリ

$K_0$ が射影を分類するのに対し、$K_1$ は安定化したユニタリのホモトピー類を測る。単位的 $A$ なら

$$ K_1(A)=U_(A)/U_(A)_0,

ここで $U_\infty(A)_0$ は単位元につながる連結成分である。直和が群演算を与える。非単位的環では $A^+$ 内で商 $A^+\to\mathbb C$ により単位へ落ちるユニタリを使う。

なぜ射影とは別にユニタリが必要か。$K_1(C(X))$ は安定ユニタリ写像 $X\to U(N)$ のホモトピーを記録し、円周では巻き数を検出する。たとえば座標関数 $z\mapsto z$ は

$$ [z]K_1(C(S^1))Z

の生成元である。$K_0$ が偶数次数、$K_1$ が奇数次数の情報を担い、Bott周期性で交互に現れる。

7.8 ホモトピー不変性・安定性・Morita不変性

作用素環K理論の強さは、細部を忘れつつ重要な障害を保つ三性質にある。

ホモトピー不変性：ホモトピックな $*$-準同型は同じK群準同型を誘導する。
安定性：$K_i(A)\cong K_i(A\otimes K(H))$。
Morita不変性：強Morita同値な $C^*$-環は同型なK群を持つ。

したがってK理論は代数の元を細かく分類するのではなく、連続変形と行列増幅で消えない大域的情報を抽出する。

7.9 Bott周期性

複素K理論には

$$ K_{i+2}(A)K_i(A)

という自然同型がある。懸垂 $SA=C_0(\mathbb R)\otimes A$ を使えば $K_1(A)=K_0(SA)$ と見られ、二重懸垂が元へ戻る。

これは添字を簡略化する規約ではない。位相空間 $S^2$ 上のBott元という特別なK類が外積による同型を作る、深い周期性定理である。本書では完全証明を行わず、Toeplitz拡大と指数写像でその働きを具体的に見る。[Blackadar; Williams K]

7.10 六項完全列

短完全列

$$ 0IAA/I

から、包含 $\iota:I\to A$ と商写像 $q:A\to A/I$ が誘導する準同型を使って

\[ \begin{array}{ccc} K_0(I)&\to&K_0(A)\to K_0(A/I)\\ \uparrow\partial&&\downarrow\partial\\ K_1(A/I)&\leftarrow&K_1(A)\leftarrow K_1(I) \end{array} \]

という巡回する六項完全列が得られる。上段の水平写像は $\iota_*,q_*$、下段も同じ $*$-準同型が誘導する $K_1$ 上の写像である。右の境界写像は

\[ \partial_1:K_1(A/I)\to K_0(I), \]

左の境界写像は $\partial_0:K_0(A/I)\to K_1(I)$ である。

「完全」とは各頂点で、直前の写像の像が次の写像の核に等しいことをいう。たとえば $[u]\in K_1(A/I)$ について $\partial_1[u]=0$ であることは、安定化とホモトピーを許せば $u$ が $A$ のユニタリから来ることに対応する。すなわち $\ker\partial_1=\operatorname{im}q_*$ は、「持ち上げ障害が消える」と「上の代数から来る」が同値だと述べている。

境界写像が重要である。商で射影やユニタリとして見える元を $A$ に持ち上げようとしたとき、完全には持ち上がらない障害がイデアル $I$ のK類として現れる。ユニタリ $u\in M_n(A/I)$ をpartial isometry $v\in M_n(A)$ に持ち上げられる場合、符号規約の下で

\[ \partial_1[u]=[1-v^*v]-[1-vv^*]\in K_0(I). \]

二つの射影は、liftがunitaryであることに失敗した初期空間と終域の欠損を測る。Toeplitz拡大では $u(z)=z$ のliftがshift $S$ で、$1-S^*S=0$、$1-SS^*=P_{e_0}$ だから

\[ \partial_1[z]=-[P_{e_0}]. \]

これは $\operatorname{ind}S=-1$ と一致する。第8章では、この境界写像が一般のFredholm指数を返すことを確認する。

7.11 章末の確認

射影 $p\in M_n(C(X))$ から束 $E_p$ を作る手順を説明せよ。
形式差 $[p]-[q]$ が負の射影を意味しない理由を述べよ。
$K_1$ がユニタリの連結成分を見る理由を円周で説明せよ。
六項完全列の境界写像を「持ち上げ障害」として説明せよ。