付録C　Clifford代数・spinor・Dirac作用素

C.1 微分形式だけではなくClifford作用を使う理由

Riemann多様体 $(M,g)$ の余接ベクトル $\alpha$ に対し、Clifford作用 $c(\alpha)$ は

$$ c()c()+c()c()=-2g^{-1}(,)

を満たす。特に

$$ c()^*c()=||2

C.2 spin構造の役割

向き付けられたRiemann多様体の正規直交frame bundleの構造群 $SO(n)$ を二重被覆 $\operatorname{Spin}(n)\to SO(n)$ へ持ち上げられるときspin構造を持つ。spin表現に付随するベクトル束 $S\to M$ がspinor bundleである。

すべての多様体がspinとは限らない。向き付け可能性に加え、第2 Stiefel–Whitney類 $w_2(M)$ の消滅が障害条件になる。したがって可換スペクトル三つ組の標準模型 $(C^\infty(M),L^2(M,S),D)$ では、コンパクトspin多様体などの仮定を明記する。

C.3 Dirac作用素

Levi–Civita接続からspin接続 $\nabla^S$ を作り、局所正規直交frame $(e_j)$ に対し

$$ D=j c(e^j)S{e_j}

と定める。関数 $f$ に対しLeibniz則を使うと

$$ D(f)-fD =_j c(e^j)e_j(f) =c(df).

よって $[D,f]=c(df)$ である。接続の0階項は交換子で消え、主記号に含まれる計量が残る。

C.4 Lichnerowicz公式への入口

spin Dirac作用素には

$$ D²⁼*+

というLichnerowicz公式がある。左辺のスペクトルが接続Laplacianとscalar curvatureを含むため、Dirac作用素が計量だけでなく曲率情報を持つことが分かる。証明にはClifford接続の曲率計算が必要なため、本書では外部定理として用いる。