付録B　位相的K理論を作用素環から読み直す

B.1 安定同型を取る理由

ベクトル束 $E,F$ が同型でなくても、同じ束 $G$ を足して

$$ EGFG

となることがある。K理論は直接和で消せる差を安定的に測る。Grothendieck群 $K^0(X)$ の元 $[E]-[F]$ は、対 $(E,F)$ を

\[ (E,F)\sim(E',F') \]

iff ある $G$ について $E\oplus F'\oplus G\cong E'\oplus F\oplus G$ として作る。

基点付きコンパクト空間 $(X,x_0)$ ではrank写像

$$ K^0(X)K^0({x_0})Z

の核を $\widetilde K^0(X)$ とする。局所コンパクト $X$ のコンパクト台K理論は一点コンパクト化 $X^+$ により

$$ K_c^0(X)=K^0(X+)

と定義できる。代数側の

$$ K_0(C_0(X)) =(K_0(C(X^+))K_0(C))

は同じ構造を表す。

reduced suspension $\Sigma X$ によって

$$ K^{-1}(X)=K^0(X)

と定義する。関数環では空間の懸垂に対応して

$$ SA=C_0(R)A

が現れ、$K_1(A)=K_0(SA)$ と整合する。

$S^2\cong\mathbb CP^1$ 上のtautological line bundle $L$ から

$$ =[L]-[1]K^0(S2)

を作る。Bott周期性は外積 $x\mapsto x\boxtimes\beta$ が二重懸垂との同型を与えることを主張する。周期2は記号上の偶然でなく、この幾何的生成元の可逆性から来る。