第7部 momentum-shell RG を一段ずつ計算する
1. 何を固定し、何を積分するか
一成分 \(\phi^4\) 理論
\[ S[\phi]=\frac12\int_{|k|<\Lambda}\frac{d^dk}{(2\pi)^d} (k^2+r)|\phi(k)|^2+ \frac u{4!}\int d^dx\,\phi(x)^4 \]
を考える。\(b=e^{\ell}>1\) とし、場を \(\phi=\phi_<+\phi_>\) に分ける。
\[ \phi_<:\ |k|<\Lambda/b,\qquad \phi_>:\ \Lambda/b<|k|<\Lambda. \]
これは場の振幅の大小ではなく Fourier mode の波数による分割である。effective action を
\[ e^{-S_{\rm eff}[\phi_<]}= \int\mathcal D\phi_>e^{-S[\phi_<+\phi_>]} \]
で定義する。この等式自体は正則化された有限積分として exact である。
2. cumulant 展開
Gaussian 高速 mode の平均を \(\langle\cdot\rangle_>\) と書けば
\[ S_{\rm eff}=S_0[\phi_<] -\log\left\langle e^{-S_{\rm int}[\phi_<+\phi_>]} \right\rangle_>+\text{定数}. \]
\(X=S_{\rm int}\) として
\[ -\log\langle e^{-X}\rangle =\langle X\rangle-\frac12 (\langle X^2\rangle-\langle X\rangle^2)+O(X^3). \]
ここから \(u\) の次数で摂動する。近似は、高速 mode を積分する定義ではなく、cumulant を有限次数で切り、生成される演算子を微分展開して一部だけ残す点に入る。
3. \(r\) の one-loop 補正
\[ (\phi_<+\phi_>)^4= \phi_<^4+4\phi_<^3\phi_>+6\phi_<^2\phi_>^2 +4\phi_<\phi_>^3+\phi_>^4. \]
Gaussian 平均で奇数個の \(\phi_>\) はゼロ。\(6\phi_<^2\phi_>^2\) から
\[ \delta S_r= \frac u{4!}6\int d^dx\,\phi_<^2(x) \langle\phi_>^2(x)\rangle_>. \]
\[ \langle\phi_>^2(x)\rangle_> =\int_{\Lambda/b<|q|<\Lambda} \frac{d^dq}{(2\pi)^d}\frac1{q^2+r} \equiv I_1(r). \]
\(\delta S_r=(\delta r/2)\int\phi_<^2\) と比較して
\[ \delta r=\frac u2 I_1(r). \]
球対称 cutoff なら \(d^dq=S_{d-1}q^{d-1}dq\)、
\[ S_{d-1}=\frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)},\qquad K_d=\frac{S_{d-1}}{(2\pi)^d}, \]
なので
\[ I_1(r)=K_d\int_{\Lambda/b}^{\Lambda}dq\, \frac{q^{d-1}}{q^2+r}. \]
薄い shell では増分を次元 \(d\) と区別して \(b=e^{\delta\ell}\simeq1+\delta\ell\) と書く。shell 幅は \(\Lambda\delta\ell\) だから
\[ I_1(r)=K_d\frac{\Lambda^d}{\Lambda^2+r}\delta\ell +O((\delta\ell)^2). \]
この補正が additive なので、相互作用系の臨界点は裸の \(r=0\) からずれる。以後の温度型変数は臨界面 \(r_c(u)\) からのずれとして取る必要がある。
4. \(u\) の one-loop 補正
cumulant の二次項で二つの quartic vertex を高速 propagator 二本で結ぶ connected contraction が生じる。係数を飛ばさず数える。各 vertex から低速場を二本、高速場を二本選ぶ項は
\[ A=\frac u{4!}\binom42\int d^dx\, \phi_<^2(x)\phi_>^2(x) =\frac u4\int d^dx\,\phi_<^2(x)\phi_>^2(x). \]
Wick の定理から、二つの高速場を異なる vertex 間で結ぶ connected 部分は
\[ \langle\phi_>^2(x)\phi_>^2(y)\rangle_{>,c} =2G_>(x-y)^2. \]
二という係数は \(x\) の二本を \(y\) の二本へ結ぶ pairing が二通りあるためである。第二 cumulant は従って
\[ -\frac12\langle A^2\rangle_c =-\frac{u^2}{16}\int d^dx\,d^dy\, \phi_<^2(x)\phi_<^2(y)G_>(x-y)^2. \]
低速の外部運動量が shell の代表運動量 \(\Lambda\) より十分小さい領域で、vertex function を外部運動量について展開する。sharp な薄い shell の実空間 kernel は振動する長い尾をもちうるため、「\(G_>\) が \(\Lambda^{-1}\) に厳密に局在する」ことを根拠にはしない。運動量展開の局所項に射影することが、実空間では \(\phi_<^2(y)=\phi_<^2(x)+\cdots\) と置く操作に対応する。すると
\[ \int d^dy\,G_>(x-y)^2 =\int_{\rm shell}\frac{d^dq}{(2\pi)^d} \frac1{(q^2+r)^2}=I_2(r). \]
得られた \(-u^2I_2\int\phi_<^4/16\) を \(\delta u\int\phi_<^4/4!\) と比較すると
\[ \delta u=-\frac{3u^2}{2}I_2(r), \]
\[ I_2(r)=\int_{\rm shell}\frac{d^dq}{(2\pi)^d} \frac1{(q^2+r)^2} =K_d\frac{\Lambda^d}{(\Lambda^2+r)^2}\delta\ell+O((\delta\ell)^2). \]
負符号は \(-1/2\) の第二 cumulant、係数 \(3/2=4!/16\) は vertex の二項選択と Wick pairing に由来する。この計算では外部運動量を shell 運動量に比べて小さいとして展開し、最低次の局所項を残した。Taylor 展開の次項からは \(\phi^2(\nabla\phi)^2\) など高階微分演算子も生成される。
5. 再尺度化と場の再規格化
shell を除いた後、\(k'=bk\)、従って \(x'=x/b\) とする。実空間の場を
\[ \phi'(x')=b^{(d-2)/2}\phi_<(x) \]
と選ぶと、\(\int d^dx(\nabla\phi)^2/2\) の係数が 1 に戻る。tree level で
\[ r'=b^2r,\qquad u'=b^{4-d}u. \]
loop 補正を組み合わせ、無次元量 \(\tilde r=r/\Lambda^2\)、\(g=K_du\Lambda^{d-4}\) を使う一つの規約では
\[ \frac{d\tilde r}{d\ell} =2\tilde r+\frac{g}{2(1+\tilde r)}+O(g^2), \]
\[ \frac{dg}{d\ell} =(4-d)g-\frac{3g^2}{2(1+\tilde r)^2}+O(g^3). \]
係数は \(g\) の定義と cutoff scheme に依存する。この式を別規約の式と数値だけ比較してはいけない。
この二式がどこから来たかも明記する。有限ステップでは
\[ r'=b^2\left[r+\frac u2I_1(r)\right], \qquad u'=b^{4-d}\left[u-\frac{3u^2}{2}I_2(r)\right]. \]
\(b=e^{\delta\ell}\) を一次展開し、\(I_1,I_2\) の \(\delta\ell\) 部分を代入してから、\(\delta\ell\) で割った極限が上の微分方程式である。積分消去の補正と canonical rescaling の補正を別々に足している。
6. 波動関数繰り込み
この一成分理論の one-loop tadpole は外部運動量に依存せず、\((\nabla\phi)^2\) の係数を変えない。従って \(\eta=0+O(u^2)\) である。\(\eta\) が厳密にゼロという意味ではなく、最初の非零寄与が二 loop に現れるという意味である。
7. 近似の台帳
[Exact definition] 高速 mode を積分して \(S_{\rm eff}\) を定義すること。
[Perturbative result] cumulant を \(u^2\) まで残した one-loop beta function。
[Derivative expansion] 小さい外部運動量で展開し局所演算子を残すこと。
[Truncation] \(\phi^2,\phi^4,(\nabla\phi)^2\) 以外の生成演算子を捨てること。
[Infinitesimal-shell approximation] \(d\ell\) の一次だけを残すこと。
出典案内
momentum-shell積分、cumulant expansion、再尺度化によるrecursionの歴史的・技術的整理は Wilson–Kogut (1974) を参照する。本章の係数は明示した \(g=K_du\Lambda^{d-4}\) 規約に固有である。
章末整理
この章で分かったこと
momentum-shell RG は積分消去、cutoff を戻す座標再尺度化、運動項を規格化する場再尺度化の三段階である。loop により \(r,u\) が変化し、他の全許容演算子も生成される。
次の疑問
\(d=4-\epsilon\) でこの flow はどの固定点をもち、臨界指数をどう与えるのか。
その結果、何が説明できるようになったか
mass と quartic coupling の beta function を Wick contraction と shell 積分から追跡できる。
まだ説明できていないこと
固定点の安定行列から臨界指数を取り出す計算は次章へ残る。
よくある誤解
- exact な shell integration と loop・微分展開・operator truncation は同じ近似ではない。
- one-loop で \(\eta=0\) でも exact にゼロとは限らない。
次に自然に出てくる疑問
二変数固定点と固有方向を具体的にどう計算するか。