補遺A　RG計算のための数学道具

A.1 \(d\) 次元球面積と動径積分

Gaussian 積分を二通りに計算する。

\[ \int_{\mathbb R^d}d^dx\,e^{-x^2} =\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\right)^d =\pi^{d/2}. \]

球座標では

\[ \int d^dx\,e^{-x^2} =S_{d-1}\int_0^\infty dr\,r^{d-1}e^{-r^2} =\frac{S_{d-1}}2\Gamma(d/2). \]

従って

\[ S_{d-1}=\frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}. \]

球対称な \(f(k)\) なら

\[ \int\frac{d^dk}{(2\pi)^d}f(|k|) =K_d\int_0^\infty dk\,k^{d-1}f(k), \quad K_d=\frac{S_{d-1}}{(2\pi)^d}. \]

A.2 Gaussian 積分と propagator

正定値行列 \(A\) に対し

\[ \int_{\mathbb R^n}d^nx\, e^{-x^TAx/2}=(2\pi)^{n/2}(\det A)^{-1/2}. \]

source \(J\) を加えて平方完成すると

\[ Z[J]=Z[0]\exp\left(\frac12J^TA^{-1}J\right), \]

従って \(J\) 微分から \(\langle x_ix_j\rangle=(A^{-1})_{ij}\)。場の理論では \(A=k^2+r\) の逆数が propagator になる。

A.3 Wick の定理

中心化 Gaussian 変数の奇数点関数はゼロ、偶数点関数は二点関数の全 pairings の和である。例えば

\[ \langle X_1X_2X_3X_4\rangle =\langle X_1X_2\rangle\langle X_3X_4\rangle +\langle X_1X_3\rangle\langle X_2X_4\rangle +\langle X_1X_4\rangle\langle X_2X_3\rangle. \]

one-loop の係数はこの pairing 数から生じる。

A.4 cumulant 展開

cumulant generating function の定義から

\[ \log\langle e^{tX}\rangle =t\langle X\rangle+ \frac{t^2}{2}(\langle X^2\rangle-\langle X\rangle^2)+\cdots. \]

\(t=-1\) と置けば本文の shell integration の符号が得られる。connected diagram だけが \(\log Z\) に残ることの代数的表現である。

A.5 Fourier 規約

本文では

\[ \phi(x)=\int\frac{d^dk}{(2\pi)^d}e^{ikx}\phi(k), \qquad \phi(k)=\int d^dx\,e^{-ikx}\phi(x) \]

を使う。このとき

\[ \int d^dx\,e^{i(k+q)x}=(2\pi)^d\delta^{(d)}(k+q). \]

規約を変えると \((2\pi)^d\) の位置が変わるが物理は変わらない。

A.6 線形化と固有値

離散写像 \(g'=R(g)\) を固定点 \(g^*\) の周りで

\[ g'-g^*=M(g-g^*)+O(|g-g^*|^2) \]

とする。\(Mv_\alpha=\lambda_\alpha v_\alpha\)、\(\lambda_\alpha=b^{y_\alpha}\) と書けば \(n\) 回後の線形成分は \(b^{ny_\alpha}\) 倍。連続 flow では \(\dot g=B(g-g^*)\) から \(e^{\theta_\alpha\ell}\) となる。文献により \(\theta\) と \(y\) の符号規約が逆の場合があるため、必ず IR へ向かう \(\ell\) の定義を確認する。