第34部　非平衡RGと乱流――flux、KPZ、異常scaling

1. 平衡RGから何が変わるか

平衡臨界現象ではBoltzmann分布、free energy、detailed balanceが強い制約を与える。非平衡steady stateでは

  • 外部からのenergy・粒子注入。
  • 小scaleでの散逸。
  • 非零のprobability current。
  • fluctuation–dissipation relationの破れ。

があり、静的自由エネルギーを最小化するだけでは分布を決められない。それでも長距離・長時間modeを粗視化し、scale不変なsteady stateとrelevant operatorを探すRGの発想は使える。

3. Kolmogorov dimensional scaling

速度差

\[ \delta v_L(r)= [\boldsymbol v(\boldsymbol x+\boldsymbol r) -\boldsymbol v(\boldsymbol x)] \cdot\frac{\boldsymbol r}{r} \]

の \(p\) 次structure functionを

\[ S_p(r)=\langle[\delta v_L(r)]^p\rangle \]

とする。inertial rangeで \(\varepsilon\) と \(r\) だけが関係すると仮定すれば

\[ [\varepsilon]=L^2T^{-3}, \qquad \delta v(r)\sim(\varepsilon r)^{1/3}, \]

\[ S_p(r)\sim C_p(\varepsilon r)^{p/3}. \]

これは [Heuristic dimensional scaling] Kolmogorov 1941 predictionである。特に高Reynolds数、局所等方・一様・stationaryという仮定のinertial rangeでは、longitudinal三次structure functionに

\[ \left\langle[\delta v_L(r)]^3\right\rangle =-\frac45\varepsilon r \]

を与える4/5 lawがあり、Navier–Stokes方程式と仮定から得る [Exact inertial-range relation under stated assumptions] である。Frisch (1995)

4. intermittencyとanomalous exponent

実際の高次structure functionは

\[ S_p(r)\sim r^{\zeta_p} \]

と書いたとき、一般に

\[ \zeta_p\ne\frac p3 \]

となる。散逸が空間的に間欠的で、単一scaling dimensionだけでは高次momentを記述できないためである。

臨界現象のcomposite operatorが独自のanomalous dimensionをもつように、乱流でも速度差の高次演算子・multifractal spectrumが重要になる。ただしNavier–Stokes乱流の制御されたfixed point計算は平衡 \(\phi^4\) より難しく、現象論・数値・exact relation・RG近似の証拠水準を分ける。

5. 二次元と三次元のcascade

三次元ではenergyが大scaleから小scaleへ流れるdirect cascadeが基本である。二次元非圧縮流ではenergyとenstrophyの二つの保存量があり、

  • energyのinverse cascade。
  • enstrophyのdirect cascade。

という二重cascadeが生じる。したがって「粗視化すると常にUV自由度の影響が消える」という一方向の直観だけではfluxの向きを説明できない。

RG scaleと物理的energy transferの向きも同義ではない。RGは記述scaleの変換、cascadeは非線形dynamicsによる保存量fluxである。

6. KPZ方程式

成長界面の高さ \(h(\boldsymbol x,t)\) に対するKardar–Parisi–Zhang方程式は

\[ \partial_th =\nu\nabla^2h +\frac\lambda2(\nabla h)^2 +\eta, \]

\[ \langle\eta(x,t)\eta(x',t')\rangle =2D\,\delta^{(d)}(x-x')\delta(t-t') \]

である。界面粗さと時間scaleを

\[ \langle[h(x,t)-h(0,t)]^2\rangle \sim |x|^{2\chi}, \qquad t\sim x^z \]

で定義する。

tilt/Galilean型対称性が保たれる設定では

\[ \chi+z=2 \]

という指数関係を得る。これは平衡hyperscalingでなく、非平衡方程式固有の対称性Ward identityに由来する。Kardar–Parisi–Zhang (1986)

7. KPZのcouplingと次元

無次元有効couplingは概略

\[ g\sim\frac{\lambda^2D}{\nu^3}k^{d-2} \]

である。\(d=2\) が摂動power counting上のmarginal dimensionになる。\(d<2\) ではnonlinearityがrelevantである。一次元のstationary KPZ classでは、fluctuation–dissipation型の定常measureが \(\chi=1/2\) を与え、tilt relation \(\chi+z=2\) と合わせて [Exact exponent relation in 1D under the standard KPZ assumptions]

\[ \chi=\frac12,\qquad z=\frac32 \]

が得られる。Kardar–Parisi–Zhang (1986)

\(d>2\) ではweak-coupling smooth phaseとstrong-coupling rough phaseの可能性があり、strong-coupling fixed pointは単純な低次摂動では制御しにくい。functional RG、数値、exactly solvable geometryの結果を適用範囲付きで比較する。

8. absorbing state

absorbing configurationから自発的に脱出できないstochastic systemでは、定常activityが秩序変数になる。contact processなどのgenericな単一absorbing-state transitionはdirected percolation universalityに入ることが多い。

しかし追加の保存則、複数absorbing state、quenched disorder、long-range processは別classを生む。「対称性と次元だけ」でなく、absorbing constraintとnoiseの秩序変数依存性もtheory spaceの一部である。directed percolationへの同定と例外のreviewは Hinrichsen (2000) を参照する。

9. 非平衡での検証

非平衡RGの主張を検証するときは

  • forcingとdissipationのscale separation。
  • steady state到達と初期条件依存。
  • equal-timeとdynamic observableの区別。
  • response/correlationの独立測定。
  • probability distributionのtailとrare event。

を確認する。有限rangeのpower lawだけでfixed pointを断定しない原則は平衡系と同じである。

10. 証拠水準

  • Kolmogorov \(p/3\): [Heuristic dimensional scaling]。
  • 4/5 law: 局所等方・一様・stationary inertial rangeでの [Exact relation under stated assumptions]。
  • intermittency exponent: 主に [Experimental/numerical evidence and phenomenology]。一般の第一原理閉形式解はない。
  • KPZ \(\chi+z=2\): tilt symmetryを保つ設定の [Ward-identity scaling relation]。
  • 1D KPZ指数: standard KPZ classの [Exact exponent result]。高次元strong couplingへ無条件に移さない。

章末整理

この章で分かったこと

平衡free energyがなくても、flux、動的作用、対称性、scale変換を用いて非平衡universalityを組織できる。

その結果、何が説明できるようになったか

Kolmogorov scalingとintermittency、cascadeとRGの違い、KPZの \(\chi+z=2\)、absorbing-state classを比較できる。

まだ説明できていないこと

Navier–Stokes intermittency exponentの第一原理計算、KPZ高次元strong coupling、active matterの分類は未解決である。

よくある誤解

  • RG flowの向きとenergy cascadeの向きは同じ概念ではない。
  • \(p/3\) 則は全高次momentのexact lawではない。
  • 非平衡steady stateが常に有効free energyをもつとは限らない。

次に自然に出てくる疑問

ここまでの方法を一つの問題解決手順へ統合すると、何を入力し、どの証拠水準で結論すべきか。