第31部　動的臨界現象――critical slowing downと保存則

1. 静的普遍性だけでは時間を決めない

平衡分布が同じ

\[ P_{\rm eq}[\phi]\propto e^{-F[\phi]/T} \]

でも、時間発展が秩序変数を保存するか、energy・momentum・他のslow modeとcoupleするかでdynamicは異なる。静的指数 \(\nu,\eta\) が同じでもdynamic exponent \(z\) は異なりうる。

相関長 \(\xi\) に対応する最長緩和時間を

\[ \tau\sim\xi^z \]

と定義する。臨界点で \(\xi\to\infty\) とともに \(\tau\) が発散することがcritical slowing downである。

2. Model A――非保存秩序変数

Ising型の非保存秩序変数に対する最小Langevin方程式は

\[ \partial_t\phi(x,t) =-\Gamma\frac{\delta F}{\delta\phi(x,t)} +\zeta(x,t) \]

である。Gaussian自由エネルギー

\[ F=\frac12\int d^dx\, \left[(\nabla\phi)^2+r\phi^2\right] \]

ならFourier modeは

\[ \partial_t\phi_k =-\Gamma(k^2+r)\phi_k+\zeta_k. \]

緩和率は \(\omega_{\rm rel}=\Gamma(k^2+r)\)。臨界点 \(r=0\) で \(k\sim\xi^{-1}\) とすれば

\[ \tau\sim \xi^2, \qquad z_{\rm Gaussian}=2. \]

これは [Exact result for the linear Gaussian Model A] である。相互作用は \(z\) にanomalous correctionを与える。\(z=2\) を全Ising dynamicsのexact値とみなしてはいけない。

3. fluctuation–dissipationとnoise

平衡分布 \(e^{-F/T}\) をstationaryにするwhite noiseは

\[ \langle\zeta(x,t)\rangle=0, \]

Model Aの相互作用を入れた代表的なone-loop計算では、静的 \(\phi^4\) vertexに加えてresponse場 \(\tilde\phi\) を持つJanssen–De Dominicis作用を使う。\(u\) のone-loopは静的理論と同じ固定点へ流れ、運動係数 \(\Gamma\) のrenormalizationは最初の非零寄与が二loopで現れる。したがって

\[ z_{\rm A}=2+c\,\eta+O(\epsilon^3), \qquad c=6\log\frac43-1 \]

であり、one-loop精度では \(z_{\rm A}=2+O(\epsilon^2)\) と読める [Perturbative dynamic RG result]。これは「静的 \(\eta=0\) だから常に \(z=2\)」という意味ではなく、Model Aでは時間微分項の独立なrenormalizationが低次で遅れて現れるという次数管理の結果である。

\[ \langle\zeta(x,t)\zeta(x',t')\rangle =2\Gamma T\, \delta^{(d)}(x-x')\delta(t-t'). \]

dissipation係数 \(\Gamma\) とnoise強度の関係がfluctuation–dissipation theoremを表す。noiseを任意に変えると一般に別の非平衡steady stateになる。

response field \(\tilde\phi\) を導入すると、noise平均後のMartin–Siggia–Rose–Janssen–De Dominicis作用は概略

\[ S_{\rm dyn} =\int d^dx\,dt\, \left[ \tilde\phi\left( \partial_t\phi+\Gamma\frac{\delta F}{\delta\phi} \right) -\Gamma T\tilde\phi^2 \right]. \]

これに対して空間・時間を異方的にrescaleするdynamic RGを行う。

4. Model B――保存秩序変数

局所保存則

\[ \partial_t\phi+\nabla\cdot\boldsymbol j=0 \]

を満たすdiffusive dynamicsでは

\[ \partial_t\phi =\Gamma\nabla^2 \frac{\delta F}{\delta\phi} +\zeta_B. \]

Gaussian臨界点で

\[ \partial_t\phi_k =-\Gamma k^2(k^2+r)\phi_k+\zeta_{B,k}, \]

従って \(r=0\) では緩和率が \(k^4\) となり

\[ z_{\rm Gaussian}=4. \]

平衡Model Bでは保存則と静的anomalous dimensionの関係から

\[ z=4-\eta \]

が得られる。これは平衡Model Bの保存則と静的固定点を用いる [Dynamic scaling relation under Model B assumptions] である。Hohenberg–Halperin (1977) Model Aと同じ静的 \(O(N)\) fixed pointを共有しても、保存則だけでdynamic classが変わる。

5. dynamic scaling form

時空二点相関を

\[ C(x,t)=\langle\phi(x,t)\phi(0,0)\rangle_c \]

とする。臨界点のdynamic scalingは

\[ C(x,t)=b^{-2\Delta_\phi} C(x/b,t/b^z) \]

を仮定する。動的structure factorを時空Fourier変換すると

\[ S(k,\omega) =k^{-2+\eta-z} \mathcal S(\omega/k^z). \]

\(\omega\) で積分すれば等時structure factor \(S(k)\sim k^{-2+\eta}\) に戻る。有限相関長では

\[ S(k,\omega;t) =\xi^{2-\eta+z} \widehat{\mathcal S}(k\xi,\omega\xi^z). \]

実験・simulationでは相関時間のdata collapseから \(z\) を推定できる。

6. 他のslow modeとのcoupling

秩序変数が非保存か保存かだけでなく、保存energy density、momentum density、他のGoldstone modeとのreversible couplingがdynamic classを変える。

• Model C: 非保存秩序変数と保存energy-like density。
• Model E/F: planar order parameterと保存density、superfluid dynamics。
• Model H: 保存scalar order parameterとmomentum流体力学。液体–気体臨界点に関係する。

この分類は Hohenberg–Halperin (1977) に体系化されている。microscopic update ruleを見ずに静的Hamiltonianだけから \(z\) を決められない。

7. Monte Carlo dynamicsとの違い

Markov-chain Monte Carloのsweep数は、algorithmが物理的遷移率を模倣する場合を除き、実時間ではない。local Metropolis、cluster update、overrelaxationは同じ静的分布をsampleしてもalgorithmic dynamic exponentが異なる。

cluster algorithmがcritical slowing downを大幅に減らしても、物質のphysical \(z\) が変わったわけではない。一方、simulationのautocorrelation timeとeffective sample sizeを評価するにはalgorithmic \(z\) が重要である。

8. 非平衡では何が失われるか

detailed balanceやfluctuation–dissipation関係を破るdriving、absorbing state、active matterでは、定常分布を局所自由エネルギー \(F\) で書けないことがある。その場合もcoarse grainingとfixed pointは使えるが、equilibrium static RGをそのまま流用できない。

responseとcorrelationは独立な指数をもちうる。entropy production、probability current、causalityを含むdynamic actionの対称性を監査する必要がある。

9. 証拠水準

• Gaussian Model A/Bの緩和率: 線形確率方程式からの [Exact Gaussian result]。
• Model分類と \(z=4-\eta\): equilibrium、保存則、slow-mode contentを指定した [RG result under stated dynamical assumptions]。
• 一般の駆動非平衡系への拡張: detailed balanceの有無を模型ごとに調べる [Model-dependent RG analysis]。

章末整理

この章で分かったこと

時間scaleは \(\tau\sim\xi^z\) と発散し、保存則とslow-mode couplingがdynamic universality classを決める。

その結果、何が説明できるようになったか

Model Aの \(z\simeq2\)、Model Bの \(z=4-\eta\)、液体・磁性・algorithmic dynamicsの違いを整理できる。

まだ説明できていないこと

dynamic beta functionのloop計算、Model Hの流体力学、absorbing-state fixed pointは未展開である。

よくある誤解

• 静的指数が同じならdynamic exponentも同じとは限らない。
• Monte Carlo sweepは一般に物理時間ではない。
• white-noise強度は平衡問題でdissipationと独立に選べない。

次に自然に出てくる疑問

零温度で量子揺らぎが臨界性を支配するとき、虚時間とdynamic exponentは有効次元をどう変えるか。