繰り込み群・臨界現象――ミクロを忘れて普遍性を得る

中心の問いは「なぜ、ミクロには異なる系が臨界点で同じマクロな振る舞いを示すのか」です。

読書経路

全体の依存図

本書は 第1–12部を圧縮稿、第13–35部を詳細編 として読む構成である。第1–3部で現象・Landau理論・相関長を導入し、第4–8部で実空間RG・理論空間・LGW作用・momentum-shell・Wilson–Fisher固定点をつなぐ。第9–12部はQFT/EFT、確率・CFT、現代的手法、限界の整理で圧縮稿を閉じる。

詳細編の対応は次の通りである。第13–16部は第1–3部の有限サイズ・次元依存・補正・流体対応を再訪する。第17–21部は第4–8部の実空間RG、Gaussian固定点、\(O(N)\)、one-loop、scaling relationを展開する。第22–24部は第9–10部のcounterterm、EFT matching、確率RGを具体化する。第25–26部は第10–12部のCFT/bootstrapを詳説する。第27–35部は第11–12部のfunctional RG、rigorous RG、disorder、動的・量子・非固定点・非平衡・統合を扱う。第12部 §7「最終回答」は圧縮稿の結論であり、詳細編はその各構成要素の再訪である。

  1. 現象から普遍性へ — 相転移、相関、臨界指数、普遍性
  2. Landau 理論と揺らぎ — 平均場理論、成功、破綻、Ginzburg 判定
  3. 相関長・スケール不変性・べき則
  4. Ising 模型から最初の RG へ — block spin、粗視化、有効 Hamiltonian
  5. 理論空間・流れ・固定点 — relevant / irrelevant / marginal、普遍性
  6. Landau–Ginzburg 場の理論 — Fourier mode、UV/IR、cutoff
  7. momentum-shell RG — shell 積分、rescaling、Gaussian 固定点
  8. Wilson–Fisher 固定点と臨界指数 — \(4-\epsilon\) 展開、指数、scaling relations
  9. 量子場理論の繰り込みと EFT — bare/renormalized、running coupling、scheme
  10. 確率・力学系・CFT — 中央極限定理、scaling limit、2次元
  11. 現代の RG — QCD、functional RG、3D Ising、bootstrap、rigorous RG
  12. 限界と未解決問題
  13. 数学補遺
  14. 統計力学補遺
  15. 演習と解答指針
  16. 参考文献と主張対応表
  17. 概念史

詳細編（圧縮初稿を自立教科書へ展開する章）

  1. 有限サイズ scaling — pseudo-critical point、Binder cumulant、data collapse、補正
  2. 次元をまたぐ Ising 模型 — 1D transfer matrix、2D exact result、3D の現在地
  3. scaling field と corrections — nonlinear field、\(\omega\)、crossover、対数補正
  4. 液体–気体の Ising 普遍性 — lattice gas、field mixing、critical opalescence
  5. 実空間RG — exact blocking、decimation、生成相互作用、truncation
  6. Gaussian固定点 — propagator、canonical dimension、固有演算子
  7. \(O(N)\) 模型 — Goldstone mode、下部臨界次元、BKTへの入口
  8. \(O(N)\) one-loop RG — index contraction、固定点、\(N\)依存指数
  9. scaling relations — 斉次自由エネルギー、指数関係、equation of state
  10. countertermとCallan–Symanzik方程式 — one-loop pole、beta function、scheme
  11. EFT matching — 重い場の積分、derivative expansion、power counting
  12. 確率分布のRG — Gaussian basin、stable law、収束補正
  13. 二次元CFT — Virasoro代数、minimal model、Ising spectrum
  14. 三次元conformal bootstrap — crossing、unitarity、Ising island
  15. exact functional RG equation — Polchinski、Wetterich、Legendre変換
  16. functional RGの近似 — derivative expansion、threshold、誤差診断
  17. rigorous RG — covariance分解、polymer remainder、定理の範囲
  18. disorderとRG — Harris判定、replica、Imry–Ma、rare region
  19. 動的臨界現象 — critical slowing down、Model A/B、保存則
  20. 量子臨界現象 — 虚時間、\(z\)、有限温度fan
  21. 固定点に到達しないRG — 一次転移、walking、limit cycle
  22. 非平衡RGと乱流 — cascade、intermittency、KPZ
  23. 統合と未解決問題 — 問題解決手順、証拠水準、研究課題

詳細編は正本本文の一部であり、旧稿や別版ではありません。第1–12部で全体像を得た後、個別論点の導出と具体例を補う螺旋構造です。

概念依存関係

相転移 → 秩序変数 → 相関関数 → 相関長
                        ↓
                 臨界点・べき則
                        ↓
Ising 模型 → 粗視化 → 有効 Hamiltonian → 理論空間
                                        ↓
                        RG 流 → 固定点 → 固有方向
                                        ↓
                     普遍性 ← irrelevant 方向の減衰
                                        ↓
Landau–Ginzburg → momentum shell → Wilson–Fisher 固定点
                                        ↓
                              臨界指数と scaling relation

この図の矢印は論理依存を表し、歴史的順序を表すとは限りません。