補遺C 理解確認問題と解答指針
問1 有限相関長
有限な \(\xi\) をもつ \(G(r)=r^{-p}e^{-r/\xi}\) が連続 scale invariance を満たさないことを示せ。
解答指針: \(G(br)/G(r)=b^{-p}e^{-(b-1)r/\xi}\) は \(r\) に依存するため、場の再規格化を表す定数倍だけでは元に戻らない。
問2 1D Ising decimation
\(K'=\tfrac12\log\cosh(2K)\) について、有限 \(K>0\) なら \(K'<K\) を示し、固定点を求めよ。
解答指針: \(\cosh(2K)<e^{2K}\) を使う。\(K=0\) と \(K=\infty\) の意味を、有限温度相転移の有無と結び付ける。
問3 新しい相互作用
局所自由度を和で消すと、なぜ最近接二体相互作用だけに閉じないのかを、境界 spin の条件付き重みの積を考えて説明せよ。
解答指針: \(-\log\) を取った有効重みを、対称性が許す spin 積の完全基底で展開する。内部自由度を共有する経路が遠距離・多体結合を生む。
問4 canonical dimension
\(\int d^dx(\partial\phi)^2/2\) を無次元に保って \([\phi]\) を求め、\(\phi^n\) coupling の次元を導け。\(d=3\) で \(n=2,4,6\) を分類せよ。
解答指針: \([g_n]=d-n(d-2)/2\)。Gaussian 固定点での分類であることを明記する。
問5 shell 積分
\[ I=\int_{\Lambda/b<|k|<\Lambda}\frac{d^dk}{(2\pi)^d} \frac1{k^2+r} \]
を動径積分へ直し、\(b=e^{\delta\ell}\) の薄い shell で \(\delta\ell\) の一次まで求めよ。
解答指針: \(d^dk=S_{d-1}k^{d-1}dk\) を使い、積分区間の幅が \(\Lambda\delta\ell\) であることを使う。分母を無断で \(k^2\) に置換せず、どの近似をしたかを書く。
問6 dangerously irrelevant
\(d>4\) の Landau potential \(f=rm^2/2+um^4/4\) で、\(u\to0\) を極小化の前に行うと何が壊れるか。
解答指針: \(r<0\) で安定な極小がなくなる。RG 固有値が負でも、scaling function が \(u\) に特異なら観測量から消せない。
問7 CLT と RG
\(T[p]=\operatorname{Law}((X_1+X_2)/\sqrt2)\) に対する第4 cumulant の固有倍率を求めよ。非 Gaussian 性が何回の反復でどう減るか述べよ。
解答指針: \(2^{1-4/2}=1/2\)。\(n\) 回で \(2^{-n}\)。
問8 scheme dependence
\(\beta(g)=-bg^2-cg^3+O(g^4)\) と \(\tilde g=g+ag^2+O(g^3)\) から \(\tilde\beta=(d\tilde g/dg)\beta\) を計算し、どの係数がこの変換で保たれるか確認せよ。
解答指針: \(\tilde\beta=-b\tilde g^2-(c-ab)\tilde g^3+O(\tilde g^4)\) の形になる。一次の非線形再定義だけなら一ループ係数 \(b\) は保存され、二ループ係数 \(c\) も標準的な mass-independent coupling 再定義の範囲では物理的に保存される係数として扱われる。座標変換で flow 成分が変わることと、observable が任意になることを混同しない。
問9 3D Ising の「解」
高精度 bootstrap data が得られることと、格子分配関数の closed-form solution、scaling limit の厳密構成が異なる理由を説明せよ。
解答指針: 仮定、入力、公理、出力、誤差保証の対象を分ける。
問10 適用限界
runaway flow から一次転移を直ちに断定できない理由を三つ挙げよ。
解答指針: truncation 破綻、別の強結合固定点、変数選択、複素固定点による walking などを検討する。
問11 有限サイズscaling
\[ m(t,h,L)=L^{-\beta/\nu} \mathcal M(tL^{1/\nu},hL^{y_h}) \]
から、\(t=h=0\) における \(\langle|m|\rangle\) と感受率の \(L\) 依存を導け。
解答指針: \(\langle|m|\rangle\sim L^{-\beta/\nu}\)。\(\chi=L^d\langle m^2\rangle_c\) とhyperscalingを用いて \(\chi\sim L^{\gamma/\nu}\)。
問12 Binder cumulant
\(U_4=1-\langle m^4\rangle/(3\langle m^2\rangle^2)\) が秩序変数のmetric factorに依存しないことを示し、異なる \(L\) の曲線が臨界点近傍で交差する理由を述べよ。
解答指針: \(m\mapsto am\) の因子が比で相殺する。\(U_4=\mathcal U(tL^{1/\nu},L^{-\omega})\) と書き、補正がなければ \(t=0\) で同じ値になる。
問13 1D transfer matrix
\(h=0\) の1D Ising transfer matrixの二固有値から
\[ \xi^{-1}=-\log(\tanh K) \]
を導き、\(K\to\infty\) の漸近形を求めよ。
解答指針: connected correlationは \((\lambda_-/\lambda_+)^r\)。\(\tanh K=1-2e^{-2K}+\cdots\) から \(\xi\sim e^{2K}/2\)。
問14 correction to scaling
irrelevant固有値 \(y_{\rm irr}=-\omega<0\) と温度固有値 \(y_t=1/\nu\) から、熱力学極限の観測量に \(|t|^{\omega\nu}\) 補正が現れることを示せ。
解答指針: \(b=|t|^{-\nu}\) と選び、\(u_{\rm irr}b^{-\omega}=u_{\rm irr}|t|^{\omega\nu}\) をscaling functionで展開する。
問15 lattice gas写像
\(n_i=(1+s_i)/2\) を用い、最近接lattice gas
\[ H=-\epsilon\sum_{\langle ij\rangle}n_in_j-\mu\sum_i n_i \]
をIsing Hamiltonianへ変換せよ。coordination numberを \(z\) としてparticle-hole対称点を求めよ。
解答指針: pair項を展開し、各siteが \(z\) bondsに属することを数える。零Ising外場から \(\mu_c=-z\epsilon/2\)。
問16 Gaussian operator mixing
Gaussian高速mode \(\zeta\) について
\[ \langle(\phi+\zeta)^6\rangle \]
をWick展開し、\(\phi^6\) がどのlower monomialとmixingするか示せ。
解答指針: \(\phi^6+15C\phi^4+45C^2\phi^2+15C^3\)。固有演算子にはlower-power subtractionが必要。
問17 Goldstone赤外発散
\[ \int_{1/L}^{\Lambda}dk\,k^{d-3} \]
を \(d<2,d=2,d>2\) で評価し、連続対称性の下部臨界次元との関係を述べよ。
解答指針: \(d<2\) は \(L^{2-d}\)、\(d=2\) は \(\log L\)、\(d>2\) はIR有限。これは定理全体でなくspin-wave power counting。
問18 \(O(N)\) one-loop
\[ \nu=\frac12+\frac{N+2}{4(N+8)}\epsilon+O(\epsilon^2) \]
について \(N=1\) と \(N\to\infty\) を取り、第8部およびlarge-\(N\)結果と比較せよ。
解答指針: \(N=1\) で \(1/2+\epsilon/12\)。\(N\to\infty\) で \(1/2+\epsilon/4\) は \(1/(2-\epsilon)\) の一次展開。
問19 scaling relations
\(\beta=(d-y_h)/y_t\)、\(\gamma=(2y_h-d)/y_t\)、\(\delta=y_h/(d-y_h)\) からWidom関係を導け。
解答指針: \(\beta(\delta-1)=[(d-y_h)/y_t][(2y_h-d)/(d-y_h)]=\gamma\)。
問20 Callan–Symanzik running
\(d\lambda/d\log\mu=3\lambda^2/(16\pi^2)\) を初期値 \(\lambda(\mu_0)\) で解き、形式的Landau poleを求めよ。
解答指針: \(1/\lambda(\mu)=1/\lambda(\mu_0)-[3/(16\pi^2)]\log(\mu/\mu_0)\)。分母ゼロは摂動記述の警告であり、UV挙動の完全な証明ではない。
問21 tree-level matching
重い場 \(H\) に \(gH\phi^2/2\) がcoupleする模型で平方完成を行い、\(O(M^{-4})\) までの局所有効作用を導け。
解答指針: \(-g^2\phi^2(M^2-\partial^2)^{-1}\phi^2/8\) を展開し、\(-g^2\phi^4/(8M^2)+g^2[\partial(\phi^2)]^2/(8M^4)\)。
問22 stable law
\(\varphi_*(k)=e^{-c|k|^\alpha}\) が \(b\) 個の独立和を \(b^{1/\alpha}\) で割る変換の固定点であることを示せ。
解答指針: \(\varphi_*(k/b^{1/\alpha})^b=e^{-bc|k|^\alpha/b}=\varphi_*(k)\)。
問23 二次元Ising CFT
\(\Delta_\sigma=1/8\)、\(\Delta_\varepsilon=1\) から \(\eta,\nu,\beta,\delta\) を導け。
解答指針: \(\eta=2\Delta_\sigma=1/4\)、\(\nu=1/(2-\Delta_\varepsilon)=1\)、\(\beta=\nu\Delta_\sigma=1/8\)、\(\delta=(2-\Delta_\sigma)/\Delta_\sigma=15\)。
問24 bootstrap crossing
四点関数の \(12\) channelと \(14\) channelを比較し
\[ v^{\Delta_\sigma}\mathcal G(u,v) =u^{\Delta_\sigma}\mathcal G(v,u) \]
が得られることを、prefactorの変換を追って確認せよ。
解答指針: \(x_1\leftrightarrow x_3\) で \(u\leftrightarrow v\) と外部距離prefactorが変わる。positivityはunitary・同一実scalarという追加仮定を要する。
問25 Wetterich方程式
modified Legendre transformからconnected propagatorが
\[ G_k=(\Gamma_k^{(2)}+R_k)^{-1} \]
になることを示せ。
解答指針: \(\delta\phi/\delta J=W_k^{(2)}\) と \(\delta J/\delta\phi=\Gamma_k^{(2)}+R_k\) が逆行列であることを使う。
問26 FRGのmode分解
\(O(N)\) potential \(U(\rho)\) のHessianを背景 \(\phi=(\sqrt{2\rho},0,\ldots)\) で対角化せよ。
解答指針: transverse \(N-1\) 成分は \(U'\)、radial成分は \(U'+2\rho U''\)。LPAの \(\eta=0\) はtruncationの定義である。
問27 rigorous RGの論理
perturbative beta functionが正しいことだけでは、なぜirrelevant remainder全体の制御にならないか。
解答指針: 無限個の生成演算子、large field、全scaleでの誤差蓄積をnormで抑える必要がある。polymer activityの収縮とrelevant tuningを挙げる。
問28 Harris criterion
相関体積内の局所臨界温度揺らぎと平均距離を比較し、\(d\nu_{\rm clean}>2\) を導け。
解答指針: \(\delta t_\xi\sim\xi^{-d/2}\)、\(|t|\sim\xi^{-1/\nu}\)。比が0へ行く条件を求める。
問29 replica平均
分散 \(\Delta\) のGaussian random massを平均し、replica間quartic項の符号と係数を求めよ。
解答指針: \(\mathbb E e^{-(1/2)\int\delta r A}=e^{(\Delta/8)\int A^2}\) なので、作用には \(-(\Delta/8)(\sum_a\phi_a^2)^2\)。
問30 Model AとB
Gaussian臨界点でModel AとModel Bの緩和率を求め、\(z=2,4\) を導け。
解答指針: Model Aは \(\omega\sim k^2\)、保存則をもつModel Bは追加の \(k^2\) により \(\omega\sim k^4\)。
問31 量子臨界fan
\(\xi_\tau\sim|g-g_c|^{-\nu z}\) と有限温度虚時間長 \(1/T\) を比較し、crossover変数を求めよ。
解答指針: \(T/|g-g_c|^{\nu z}\)、または \(r/T^{1/(\nu z)}\)。fanと有限温度classical critical regionを区別する。
問32 fixed-point annihilation
\(dg/d\ell=\delta+g^2\) を積分し、\(\delta>0\) でwalking scaleが \(e^{\pi/\sqrt\delta}\) 型になることを示せ。
解答指針: \(\int_{-\infty}^{\infty}dg/(\delta+g^2)=\pi/\sqrt\delta\)。有限だが巨大な相関長である。
問33 BKTと通常scaling
\(\xi\sim\exp(b/\sqrt t)\) に対する有効指数
\[ \nu_{\rm eff}(t)=-\frac{d\log\xi}{d\log t} \]
を求め、\(t\to0^+\) の挙動を述べよ。
解答指針: \(\nu_{\rm eff}=b/(2\sqrt t)\) で発散する。有限の通常指数ではない。
問34 KPZ scaling relation
\(x\mapsto bx,t\mapsto b^zt,h\mapsto b^\chi h\) の下で \(\partial_t h\) と \((\nabla h)^2\) のscaleを比較し、非線形couplingがrenormalizeされない仮定の下で \(\chi+z=2\) を導け。
解答指針: 両項の指数は \(\chi-z\) と \(2\chi-2\)。等置する。関係の根拠はtilt symmetryであり、単なる次元解析以上の仮定を含む。
問35 総合課題
具体的な一つの模型を選び、自由度、対称性、次元、保存則、disorder、候補有効作用、制御法、観測量、誤差診断を一ページで設計せよ。
解答指針: 結論の数値より、どの仮定からどの証拠水準の結論が出るかを表にする。代替説明と失敗条件を最低一つ挙げる。