第11部　QCD、functional RG、3D Ising、rigorous RG

1. QCD と漸近的自由

非 Abelian gauge theory の一 loop beta function は、表現 \(R\) の Dirac fermion が \(N_f\) flavor あるとき

\[ \mu\frac{dg}{d\mu}=-b_0g^3+O(g^5),\qquad b_0=\frac1{(4\pi)^2}\left(\frac{11}{3}C_A-\frac{4}{3}T_RN_f\right). \]

\(SU(N_c)\) の fundamental representation では \(C_A=N_c\)、\(T_R=1/2\) なので括弧は \(11N_c/3-2N_f/3\) となる。\(N_f<11N_c/2\) なら \(b_0>0\) で、高エネルギー \(\mu\to\infty\) に向かって \(g\to0\) となる。これが asymptotic freedom である。短距離では摂動論が制御され、長距離では coupling が強くなり confinement や chiral symmetry breaking の非摂動問題へ移る。

one-loop 方程式を分離して積分すると

\[ \int_{g(\mu_0)}^{g(\mu)}\frac{dg}{g^3} =-b_0\int_{\mu_0}^{\mu}\frac{d\mu'}{\mu'}, \]

従って積分定数を \(\Lambda_{\rm QCD}\) で表して

\[ \Lambda_{\rm QCD}=\mu\exp\left[-\frac1{2b_0g(\mu)^2}\right] \]

を得る。高次補正と scheme の変更は右辺に冪・有限係数を加えるため、\(\Lambda\) の規格化は scheme dependent だが、一つの scheme 内では RG 不変尺度である。RG はこの尺度生成を説明するが、それだけで confinement を解析的に解いたことにはならない。

2. functional RG

Polchinski 型

cutoff-dependent Wilson action の全 functional を流す式は、高運動量 covariance の変化を相互作用の一次・二次 functional derivative で表す。正則化を指定した上で、これは partition function の cutoff independence から導かれる exact functional identity である。

Wetterich 型

IR regulator \(R_k\) を加えた effective average action \(\Gamma_k\) は

\[ \partial_k\Gamma_k=\frac12\operatorname{Tr} \left[(\Gamma_k^{(2)}+R_k)^{-1}\partial_kR_k\right] \]

を満たす。\(k\) が大きいと低運動量揺らぎを抑え、\(k\to0\) で通常の quantum effective action へ近づく。

右辺が one-loop の形をしていても、逆 propagator に完全な \(\Gamma_k^{(2)}\) が入るため形式的には exact である。しかし未知の functional の方程式なので、そのまま解けたわけではない。local potential approximation、derivative expansion、vertex expansion などで

\[ \Gamma_k[\phi]=\int d^dx\left[ U_k(\phi)+\frac12Z_k(\phi)(\nabla\phi)^2+\cdots \right] \]

と切った時点で [Nonperturbative approximation] になる。nonperturbative は「小 coupling 展開に限定されない」であって「誤差なし」ではない。有限 truncation の regulator dependence は安定性診断になるが、一般的な厳密 error bar ではない。

3. 3D Ising のケーススタディ

三次元 Ising universality class については、conformal bootstrap、Monte Carlo、高温展開、再総和摂動論、functional RG が整合する高精度データを与える。

2025 年の mixed-correlator bootstrap の報告値は

\[ \Delta_\sigma=0.518148806(24),\qquad \Delta_\epsilon=1.41262528(29), \]

従って

\[ \eta=2\Delta_\sigma-(d-2)=0.036297612(48), \]

\[ \nu=\frac1{d-\Delta_\epsilon}=0.62997097(12). \]

[Conditional certified numerical bound] これらの狭い island は crossing、unitarity、演算子 gap など明示した CFT 仮定の下の数値制約である。格子 Ising がその CFT へ収束することや、island 内に CFT が存在することを単独で証明するものではない。

三次元 Ising について、次を分ける必要がある。

  • 高精度に分かる: 低い scaling dimension、臨界指数、多数の OPE data。
  • exact ではない: 単純立方格子分配関数の closed form、全相関関数の解析式。
  • 数学的に未完成: 格子場の三次元 scaling limit の構成、CFT との厳密同一視、広い模型族への universality theorem。

「非常によく分かっている」と「Onsager の二次元解の意味で exactly solved」は両立しない分類である。

4. rigorous RG は何を証明するか

厳密 RG では、各 scale の有効相互作用を normed space 上で定義し、relevant/marginal coordinate と無限次元 remainder を分離し、large-field region を含む一様評価を積み重ねる。目標は、固定点または臨界軌道の存在、相関関数の漸近形、指数・対数補正、scaling limit、universality を定理として得ることである。

代表的に立証されているのは次のような限定された主張である。

  • [Rigorous theorem] 小 coupling の四次元格子 \(|\phi|^4\) 模型における臨界挙動と対数補正。
  • [Rigorous theorem] 四次元 nearest-neighbor ferromagnetic Ising-type 模型のうち論文で定義される Griffiths–Simon class、および対応する lattice-cutoff \(\lambda\phi^4\) 模型について、臨界・近臨界 scaling limit が Gaussian になること。証明は random-current 表現と multiscale estimate を用い、狭義の「厳密 RG の反復写像」だけによる結果ではない。
  • [Rigorous theorem] 十分小さい \(\epsilon>0\) で、標準 short-range 3D 共分散をそのまま使うのではない変形 \(\phi^4_{3,\epsilon}\) 模型に、非 Gaussian 固定点と一本の不安定方向をもつ critical manifold が存在すること。

これらは標準的 short-range 3D nearest-neighbor Ising の完全な定理ではない。模型、次元、小結合、reflection positivity など仮定を明記しなければ、rigorous RG の達成を過大評価する。

また、block-spin 変換後の measure が単純な局所 Gibbs Hamiltonian で表せない non-Gibbsian 問題もあり、素朴な theory space 上で RG map が常に良定義とは限らない。

5. conformal bootstrap との役割分担

RG は「どのミクロ理論がどの固定点へ行くか」「どの perturbation が relevant か」「crossover をどう記述するか」を扱う。bootstrap は固定点が CFT だと仮定し、crossing と positivity から固定点内部の spectrum と OPE coefficients を拘束する。bootstrap は RG trajectory を直接構成せず、RG は単独で高精度の全 CFT data を自動的に出すわけではない。

出典案内

effective average actionのexact flowは Wetterich (1993)、非摂動FRGの現代的reviewは Dupuis et al. (2021) を参照する。3D Isingの数値CFT dataは Chang et al. (2025)、4D rigorous resultは Bauerschmidt–Brydges–Slade (2014) と Aizenman–Duminil-Copin (2021) の対象範囲内で引用する。

章末整理

この章で分かったこと

exact functional flow、非摂動 truncation、高精度 bootstrap、rigorous theorem は異なる認識論的地位をもつ。3D Ising は universal data が極めて精密に分かる一方、格子から continuum CFT への数学的橋は未完成である。

よくある誤解

  • exact flow equation は exact solution ではない。
  • bootstrap の certified exclusion は格子模型の scaling limit の証明ではない。
  • rigorous RG はあらゆる次元・模型の普遍性を一括証明していない。

その結果、何が説明できるようになったか

exact identity、truncated nonperturbative calculation、certified numerical bound、数学的定理を証拠水準ごとに分類できる。

まだ説明できていないこと

各 rigorous theorem の証明技法、FRG truncation の収束、bootstrap の半正定値計画の実装は専門的展開を要する。

次に自然に出てくる疑問

RG が失敗・未完成になる構造を一般にどう分類するか。