第28部 functional RGの近似――potential flow、derivative expansion、誤差
1. \(O(N)\) derivative expansion
\(O(N)\) invariant
\[ \rho=\frac12\boldsymbol\phi^2 \]
を用い、effective average actionを
\[ \Gamma_k[\boldsymbol\phi] =\int d^dx\left[ U_k(\rho) +\frac12Z_k(\rho)(\partial_\mu\boldsymbol\phi)^2 +\frac14Y_k(\rho)(\partial_\mu\rho)^2 +O(\partial^4) \right] \]
と展開する。これはfield amplitude依存をpotential関数として保持し、momentum依存を微分次数で整理するderivative expansionである。
- LPA: \(U_k(\rho)\)だけを流し、\(Z_k=1\)。
- LPA\('\): \(U_k\) とfield-independent \(Z_k\) を流し、\(\eta\)を含める。
- 高次: \(Z_k(\rho),Y_k(\rho)\)、\(O(\partial^4)\) 演算子を含める。
polynomial truncation \(U_k=\sum_{n=0}^{n_{\max}}\lambda_{n,k}(\rho-\kappa_k)^n/n!\) は、derivative expansionとは別のfield-space truncationである。
2. constant backgroundでHessianを対角化する
背景場を第1成分方向に取り
\[ \boldsymbol\phi=(\sqrt{2\rho},0,\ldots,0) \]
とする。LPAでpotential Hessianは
\[ \frac{\partial^2U}{\partial\phi_a\partial\phi_b} =U'(\rho)\delta_{ab} +U''(\rho)\phi_a\phi_b. \]
従って \(N-1\) 個のtransverse modeと1個のradial modeのmassは
\[ m_T^2=U_k'(\rho), \qquad m_R^2=U_k'(\rho)+2\rho U_k''(\rho). \]
Wetterich式へ代入すると
\[ \partial_tU_k(\rho) =\frac12\int\frac{d^dq}{(2\pi)^d}\, \partial_tR_k(q) \left[ \frac{N-1}{Z_kq^2+R_k+m_T^2} +\frac1{Z_kq^2+R_k+m_R^2} \right]. \]
この式は任意のpotential形を保ったLPA/LPA\('\) flowの出発点である。
3. dimensionless flowと固定関数
\[ \tilde\rho=Z_kk^{2-d}\rho, \qquad u_k(\tilde\rho)=k^{-d}U_k(\rho), \qquad \eta_k=-\partial_t\log Z_k \]
を定義する。dimensionless potentialのflowは概略
\[ \partial_tu =-du+(d-2+\eta)\tilde\rho\,u' +2v_d\left[ (N-1)l_0^d(u';\eta) +l_0^d(u'+2\tilde\rho u'';\eta) \right]. \]
\(v_d\) は角度積分係数、\(l_0^d\) はregulatorに依存するthreshold functionである。固定点は有限個のcouplingの零点でなく
\[ \partial_tu_*(\tilde\rho)=0 \]
を満たす固定関数として求める。
固定関数の周りで
\[ u_k=u_*+\epsilon e^{-\theta t}f(\tilde\rho) \]
と線形化すると固有値問題が得られる。flow時刻の向きによる符号規約を確認した上で、relevantな温度固有値から \(1/\nu\)、leading irrelevant固有値から \(\omega\) を読む。
4. thresholdとdecoupling
分母に \(m^2/k^2\) が入るため、\(m^2\gg k^2\) のmodeの寄与はthreshold functionで抑制される。これはFRGでmassive modeのdecouplingがflow内に連続的に実装される仕組みである。
sharp cutoffのshell pictureと違い、smooth regulatorでは有限幅の運動量が重み付きでflowへ寄与する。物理的observableはexact解ならregulatorに依存しないが、有限truncationでは残留依存がある。
5. anomalous dimension
LPAでは \(Z_k\) を固定するため
\[ \eta=0 \]
が近似の定義上固定される。相互作用固定点で非零の \(\eta\) を得るには、二点vertexの外部運動量依存を取り出し
\[ \partial_tZ_k \propto \left.\frac{\partial}{\partial p^2} \partial_t\Gamma_k^{(2)}(p,-p) \right|_{p=0} \]
のように射影する。LPA\('\) は一つの \(Z_k\) だけを保ち、より高次ではfield依存や複数tensor構造を分ける。
したがってLPAの \(\eta=0\) を理論の予言と呼んではならない。それは捨てたmomentum dependenceの直接の帰結である。
6. regulator choice
\(R_k\) はIR正則化、UV初期条件、数値安定性を満たす範囲で任意性がある。exact observableはこの選択に依存しない。有限truncationで結果が変わるため、
- regulator family内のvariation。
- derivative orderを上げた変化。
- field gridとpolynomial expansionの比較。
- expansion pointとfield rangeのvariation。
を誤差診断に使う。
principle of minimal sensitivityやoptimized regulatorは収束を改善しうるが、stationary pointが真値を保証する定理ではない。regulator variationだけを全truncation errorと同一視してもいけない。
7. polynomialとgrid
potential最小点 \(\kappa_k\) の周りのpolynomial展開は少数の常微分方程式へ還元できるが、radius of convergence外の構造や複数minimumを見落としうる。field gridで偏微分方程式として解けばglobal shapeを保てるが、離散化・境界条件・剛性の誤差が入る。
first-order transitionやmetastabilityを扱うとき、局所polynomialだけではbarrierを失うことがある。\(k\to0\) のfull effective potentialはconvexになる一方、有限 \(k\) のcoarse-grained potentialにはbarrierが残り、nucleation記述に使われる。この二つを矛盾とみなさない。
8. controlledかどうか
derivative expansionは外部momentumがregulator scaleに比べて滑らかな問題で有効だが、常に小さい明示parameterをもつとは限らない。精度は次数間収束、他手法との比較、regulator安定性で経験的・系統的に評価する。
\(\epsilon\ll1\)、\(1/N\ll1\) の極限では摂動展開と照合できる。三次元Isingではbootstrap、Monte Carlo、高loop再総和との一致が検証になる。強いmomentum依存、Fermi surface、gauge制約、リアルタイムでは単純derivative expansionが不十分なことがある。
現代的な応用とtruncationの整理は Dupuis et al. (2021) を参照する。
証拠水準
- potential flowへの射影: Wetterich恒等式にansatzを代入した [Exact projection before truncation closure]。
- LPA/LPA\('\)とderivative expansion: [Systematic nonperturbative approximation]。
- regulator variationと次数収束: [Error diagnostic] であり、一般的なrigorous error barではない。
- 他手法との指数一致: [Cross-validation]。方程式のexact性をtruncated解へ移さない。
章末整理
この章で分かったこと
Wetterich方程式をderivative expansionへ射影し、\(O(N)\) potentialのtransverse・radial threshold flowを導ける。
その結果、何が説明できるようになったか
固定関数、mass decoupling、anomalous dimension、regulator依存を一つの計算枠組みで扱える。
まだ説明できていないこと
具体的な数値積分、higher-derivative basisの完全分類、real-time FRGは未展開である。
よくある誤解
- LPAの \(\eta=0\) はexact resultではない。
- regulator依存が小さいだけで全誤差が小さいとは限らない。
- \(k\to0\) のconvexityと有限 \(k\) のbarrierは矛盾しない。
次に自然に出てくる疑問
物理的RG図のどの部分が数学的定理として構成され、三次元Ising universalityには何が未証明か。