第22部　countertermとCallan–Symanzik方程式――\(\phi^4\)の具体計算

1. Wilson流とは別の計算座標

Euclidean scalar理論

\[ \mathcal L_0=\frac12(\partial\phi_0)^2 +\frac12m_0^2\phi_0^2 +\frac{\lambda_0}{4!}\phi_0^4 \]

をdimensional regularizationで \(d=4-\epsilon\) に置く。renormalized量を

\[ \phi_0=Z_\phi^{1/2}\phi, \qquad m_0^2=Z_{m^2}m^2, \qquad \lambda_0=\mu^\epsilon Z_\lambda\lambda \]

と定義する。\(\mu\) は四次元で無次元な \(\lambda\) を維持するための任意のrenormalization scaleである。

ここでは \(\mu\) を増やす向きをUVとするCallan–Symanzik規約を使う。第20部の \(\ell\) はIRへ増えるため、同じ物理的方向を比較すると符号が逆になる。

Z因子から anomalous dimension を

\[ \gamma_\phi(\lambda) =\frac12\mu\left.\frac{d\log Z_\phi}{d\mu}\right|_0, \qquad \gamma_{m^2}(\lambda) =-\mu\left.\frac{d\log Z_{m^2}}{d\mu}\right|_0 \]

と定義する。縦棒の \(0\) は bare量固定を意味する。この符号規約では、臨界指数との対応が後の式

\[ \eta=2\gamma_\phi^*,\qquad \frac1\nu=2-\gamma_{m^2}^* \]

になるように置いている。第9部の概略式と符号が違って見える場合は、\(\gamma_m m\partial_m\) と \(\gamma_{m^2}m^2\partial_{m^2}\) の定義差を同時に読む必要がある。

2. one-loop四点積分のpole

外部運動量 \(p\) を流すbubble積分は

\[ I(p)=\mu^\epsilon\int\frac{d^dq}{(2\pi)^d} \frac1{(q^2+m^2)[(q+p)^2+m^2]}. \]

Feynman parameter

\[ \frac1{AB}=\int_0^1dx\, \frac1{[xA+(1-x)B]^2} \]

を使い、\(q\mapsto q-(1-x)p\) とshiftすると

\[ I(p)=\mu^\epsilon\int_0^1dx \int\frac{d^dq}{(2\pi)^d} \frac1{[q^2+\Delta(x,p)]^2}, \]

\[ \Delta(x,p)=m^2+x(1-x)p^2. \]

標準Gaussian積分

\[ \int\frac{d^dq}{(2\pi)^d} \frac1{(q^2+\Delta)^2} =\frac1{(4\pi)^{d/2}} \Gamma\!\left(2-\frac d2\right) \Delta^{d/2-2} \]

を用いる。\(d=4-\epsilon\) では \(\Gamma(\epsilon/2)=2/\epsilon+O(1)\) なので

\[ I(p)=\frac1{8\pi^2}\frac1\epsilon +\text{finite}(p,m,\mu)+O(\epsilon). \]

pole部分が外部運動量に依存しないことは、局所counterterm \(\phi^4\) で除去できることを示す。

3. channelと対称係数

四点関数には \(s,t,u\) の三channelがあり、各bubbleには対称係数 \(1/2\) がある。従ってpole部分は概略

\[ \Gamma^{(4)}_{\rm 1loop,div} =\frac{3\lambda^2}{16\pi^2}\frac1\epsilon \]

となる。minimal subtractionでは

\[ \lambda_0=\mu^\epsilon\left[ \lambda+\frac{3\lambda^2}{16\pi^2\epsilon} +O(\lambda^3) \right] \]

と選ぶ。countertermは発散を「捨てる」のではなく、bare parameterとrenormalized parameterの関係を、指定したrenormalization conditionまたはsubtraction schemeで定義する。

同じone-loopでもtadpoleはmassをrenormalizeするが外部運動量に依存しない。従って

\[ Z_\phi=1+O(\lambda^2), \qquad \gamma_\phi=O(\lambda^2) \]

であり、統計模型のone-loopで \(\eta=0\) だったことと対応する。

4. bare couplingを固定してbeta functionを得る

bare couplingは \(\mu\) に依存しないので

\[ 0=\mu\frac d{d\mu}\lambda_0 \]

と置く。\(\beta(\lambda)=\mu\,d\lambda/d\mu|_{\lambda_0}\) と定義し、前式を有限項まで整理すると

\[ \beta(\lambda)=-\epsilon\lambda +\frac{3\lambda^2}{16\pi^2} +O(\lambda^3). \]

四次元 \(\epsilon=0\) では

\[ \beta(\lambda)=\frac{3\lambda^2}{16\pi^2}+\cdots>0. \]

一方 \(d=4-\epsilon\) では非自明零点

\[ \lambda_*=\frac{16\pi^2}{3}\epsilon+O(\epsilon^2) \]

がある。第8部の無次元couplingは \(g=K_4u\)、\(K_4=1/(8\pi^2)\) であり、\(\lambda=u\) と対応させると

\[ g_*=K_4\lambda_* =\frac1{8\pi^2}\frac{16\pi^2}{3}\epsilon =\frac{2\epsilon}{3} \]

となる。固定点座標はscheme依存だが、この換算では第8部の \(g_*=2\epsilon/3\) と同じ正規化に戻る。

5. running couplingと大きな対数

四次元でone-loop方程式

\[ \frac{d\lambda}{d\log\mu} =\frac{3\lambda^2}{16\pi^2} \]

を積分すると

\[ \frac1{\lambda(Q)}= \frac1{\lambda(\mu)}- \frac3{16\pi^2}\log\frac Q\mu. \]

固定次数のamplitudeに現れる \(\lambda^2\log(Q/\mu)\) が大きいとき、\(\mu\sim Q\) と選びrunning couplingを用いることでleading logarithmを再総和できる。

分母がゼロになる形式的scaleは摂動的Landau poleである。これはそのscaleまで理論が確実に物理的特異点をもつという証明ではなく、摂動解またはそのUV completionなしの記述が信頼できなくなる警告である。

6. Callan–Symanzik方程式

bare場で定義した連結 \(n\)点関数を \(G_0^{(n)}\)、renormalized場のものを \(G_R^{(n)}\) とする。\(\phi_0=Z_\phi^{1/2}\phi\) だから

\[ G_0^{(n)}(\{x\};m_0^2,\lambda_0) =Z_\phi^{n/2}G_R^{(n)}(\{x\};m^2,\lambda,\mu). \]

左辺は bare parameter を固定すれば \(\mu\) に依存しない。従って

\[ 0=\mu\left.\frac d{d\mu}\right|_0 \left[Z_\phi^{n/2}G_R^{(n)}\right]. \]

積の微分を展開すると

\[ 0=Z_\phi^{n/2} \left[ \mu\frac\partial{\partial\mu} \beta(\lambda)\frac\partial{\partial\lambda} \mu\left.\frac{dm^2}{d\mu}\right|_0\frac\partial{\partial m^2} n\gamma_\phi \right]G_R^{(n)}. \]

\(m_0^2=Z_{m^2}m^2\) を bare 固定で微分すると

\[ 0=\mu\frac d{d\mu}\log m_0^2 =\mu\frac d{d\mu}\log Z_{m^2} +\mu\frac d{d\mu}\log m^2 \]

なので、上の定義により

\[ \mu\left.\frac{dm^2}{d\mu}\right|_0 =\gamma_{m^2}m^2. \]

したがって renormalized \(n\)点関数 \(G_R^{(n)}\) は

\[ \left[ \mu\frac\partial{\partial\mu} +\beta(\lambda)\frac\partial{\partial\lambda} +\gamma_{m^2}(\lambda)m^2\frac\partial{\partial m^2} +n\gamma_\phi(\lambda) \right]G_R^{(n)}=0 \]

を満たす [Exact RG identity after renormalization definitions]。

固定点 \(\beta(\lambda_*)=0\) ではrunningが止まり、\(\gamma_\phi(\lambda_*)\) が場のanomalous dimensionを与える。したがって「発散を相殺するcounterterm計算」と「臨界点のscaling dimension」は、beta functionと固定点を介して同じ構造になる。

mass演算子の固有値も同じ式から読む。固定点で \(m^2\) は

\[ \mu\frac{dm^2}{d\mu}=\gamma_{m^2}^*m^2 \]

と走る。WilsonのIR向き長さ再尺度化ではcanonicalな \(m^2\) の次元2を含めて

\[ y_t=2-\gamma_{m^2}^* \]

となるため

\[ \frac1\nu=y_t=2-\gamma_{m^2}^*. \]

one-loop MSでは \(Z_\phi=1+O(\lambda^2)\) なので \(\eta=2\gamma_\phi^*=O(\epsilon^2)\)。また本章の規約で

\[ \gamma_{m^2}(\lambda)=\frac{\lambda}{16\pi^2}+O(\lambda^2). \]

第4節の固定点 \(\lambda_*=16\pi^2\epsilon/3+O(\epsilon^2)\) を代入して

\[ \frac1\nu=2-\frac{\epsilon}{3}+O(\epsilon^2) \]

を得る。これは第8部 §2のWilson流の結果と一致する。

7. scheme dependenceを式で見る

解析的なcoupling再定義

\[ \lambda'=\lambda+a\lambda^2+O(\lambda^3) \]

に対しchain ruleから

\[ \beta'(\lambda')= \frac{d\lambda'}{d\lambda}\beta(\lambda). \]

beta functionの高次係数と固定点座標は変わる。一方、exactな固定点での線形化固有値

\[ \left.\frac{d\beta'}{d\lambda'}\right|_{\lambda'_*} =\left.\frac{d\beta}{d\lambda}\right|_{\lambda_*} \]

は一変数の非特異な座標変換で不変である。有限次数では再展開・打切りのため残差が生じ、それを理論誤差の診断に使える。

8. 何がrenormalizedされたのか

renormalizationは無限大同士を恣意的に引く操作ではない。

1. regulatorを置いて積分を定義する。
2. 測定可能量を固定するrenormalization conditionを選ぶ。
3. bare parameterをその条件に合うようregulator依存にする。
4. 所望次数でregulatorを外したobservable間関係を得る。

MS schemeは計算に便利だが、\(\lambda(\mu)\) 自体は直接observableではない。異なるschemeでも同じ物理的散乱振幅を同じ精度で計算すれば一致する。

出典案内

renormalized相関関数のscale方程式は Callan (1970) と Symanzik (1970) に基づく。本章のpole係数は \(d=4-\epsilon\) と \(\lambda\phi^4/4!\) の規約であり、\(d=4-2\epsilon\) 規約の式と分母だけを比較しない。

証拠水準

• one-loop poleとbeta function: \(\lambda\ll1\)、\(d=4-\epsilon\)、MS規約の [Controlled perturbative result]。
• Callan–Symanzik方程式: bare量のscale不変性からの [Exact RG identity]、係数は摂動計算。
• one-loop Landau pole: truncated beta functionの [Perturbative warning]、UV完成の非存在証明ではない。

章末整理

この章で分かったこと

\(\phi^4\) のone-loop bubbleから局所pole、counterterm、beta function、running couplingを一続きに導ける。

その結果、何が説明できるようになったか

QFTのUV繰り込みと統計力学のWilson–Fisher固定点が、flowの向きとcoupling規約を変えた同じ固定点構造をもつことを確認できる。

まだ説明できていないこと

mass anomalous dimensionの完全な導出、two-loopの波動関数繰り込み、gauge symmetryを保つrenormalizationは未展開である。

よくある誤解

• countertermは観測不能な発散を無根拠に捨てる項ではない。
• MS couplingや固定点座標そのものはobservableではない。
• Landau poleの摂動的出現だけでUV理論の全挙動が証明されたわけではない。

次に自然に出てくる疑問

重い自由度を実際に積分し、EFTのWilson coefficientとpower countingをどう計算するか。