第15部 scaling field、crossover、corrections to scaling
1. bare coupling と scaling field は同じか
固定点近傍の線形化で固有方向を \(u_\alpha\) と書く。
\[ u_\alpha'=b^{y_\alpha}u_\alpha+O(u^2). \]
\(u_\alpha\) は元の Hamiltonian の単一係数とは限らない。例えば温度型 scaling field は一般に
\[ u_t=a_1t+a_2t^2+a_3h^2+\cdots \]
のような解析的組合せである。\(\mathbb Z_2\) 対称性があれば温度型は \(h\) に偶、磁場型は \(h\) に奇でなければならない。したがって「\(r\) が温度そのもの」「\(u\) が一つの実在相互作用そのもの」と同一視するのは座標依存を無視している。
2. nonlinear scaling field
固定点の近くでも beta function には非線形項がある。
\[ \frac{dg_i}{d\ell}=B_{ij}\delta g_j+ \frac12C_{ijk}\delta g_j\delta g_k+\cdots. \]
非共鳴条件の下では座標を非線形に変えて多くの混合項を除ける。この「flow をできるだけ対角な形へ直す座標」が nonlinear scaling field である。Wegner (1972) はこの再定義から corrections to scaling を系統化した。
resonance とは、ある固有値が非負整数 \(n_j\) を使って \(y_i=\sum_jn_jy_j\) と表され、対応する monomial が線形項と同じ scaling をもつ場合である。最小例として
\[ \dot u=yu+cv^2,\qquad \dot v=\frac y2v \]
では \(v^2\propto e^{y\ell}\) が \(u\) の斉次解と同じ指数をもち、積分すると \(u\supset c\ell e^{y\ell}\) が残る。\(\ell=\log L\) なので logarithm が生じ、単純な解析的座標変換では除けない。
3. leading correction exponent
最もゼロに近い irrelevant 固有値を
\[ y_{\rm irr}=-\omega, \qquad \omega>0 \]
とする。温度だけを変えた observable は一般に
\[ O(t)=|t|^{-\rho} \left[A_0+A_1|t|^{\omega\nu}+A_2|t|+\cdots\right]. \]
\(|t|^{\omega\nu}\) は irrelevant field、括弧内の \(|t|\) は nonlinear scaling field が生む乗法的 analytic correction の例である。regular background は別に
\[ O(t)=O_s(t)+O_{\rm reg}(t),\qquad O_{\rm reg}(t)=B_0+B_1t+\cdots \]
と加法的に存在する。例えば \(O_s=|t|^{-\gamma}\) の感受率では定数背景の相対補正は \(|t|^\gamma\) となり、常に括弧内の \(|t|\) ではない。どの補正が leading かは observable、指数、振幅に依存する。
有限範囲で log-log plot の傾きを取ると
\[ \rho_{\rm eff}(t)=-\frac{d\log O}{d\log|t|} \]
は真の \(\rho\) へゆっくり drift する。実験や数値で異なる指数に見える原因の一つであり、universality の破れと即断できない。
4. improved model
同じ universality class 内でも、microscopic parameter を調整して leading irrelevant scaling field の振幅 \(A_1\) をゼロにできることがある。このような improved action/model では leading correction が抑えられ、高精度の指数推定が容易になる。三次元 \(O(N)\) 模型での corrections と improved Hamiltonian の利用は Pelissetto–Vicari review に整理されている。
これは irrelevant operator 自体が理論空間から消えたという意味ではない。選んだ microscopic trajectory がその固有方向への射影を持たない、または小さくしたという意味である。
5. crossover
固定点 A の近くに relevant perturbation \(g\) があり、その固有値を \(y_g>0\) とする。反復で \(g(\ell)\simeq e^{y_g\ell}g_0\)。\(g(\ell_\times)\sim1\) となる尺度は
\[ \ell_\times\sim-\frac1{y_g}\log|g_0|, \qquad \xi_\times\sim e^{\ell_\times}\sim|g_0|^{-1/y_g}. \]
\(L\ll\xi_\times\) では A の指数に見え、\(L\gg\xi_\times\) では別固定点 B または massive phase の挙動が現れる。この crossover は「指数が尺度で本当に連続変化する」というより、異なる固定点の支配域を有限尺度で横切る現象である。
二つの relevant field \(t,g\) があるなら自由エネルギーは
\[ f_s(t,g)=b^{-d}f_s(b^{y_t}t,b^{y_g}g). \]
\(b=|t|^{-1/y_t}\) を選ぶと
\[ f_s(t,g)=|t|^{d/y_t} \Phi_\pm\left(g|t|^{-\phi}\right), \qquad \phi=\frac{y_g}{y_t}. \]
\(\phi\) は crossover exponent である。
6. marginal coupling と対数補正
\(y_g=0\) なら線形化では変化しない。例えば
\[ \frac{dg}{d\ell}=-Ag^2, \qquad A>0 \]
なら
\[ g(\ell)=\frac{g_0}{1+Ag_0\ell} \sim\frac1{A\ell}. \]
長さ \(L\sim e^\ell\) なので \(g(L)\sim1/\log L\)。ここでは observable の flow の符号規約を
\[ \frac{d\log O}{d\ell}=x_O+\gamma_O(g), \qquad \gamma_O(g)=c_1g+\cdots \]
と定義する。この規約なら canonical factor \(e^{x_O\ell}\) を除いた補正は
\[ \exp\left(\int^{\log L}d\ell\,\gamma_O(g(\ell))\right) \sim(\log L)^{c_1/A} \]
が通常の power law に乗る。\(d=4\) の \(\phi^4\) 理論で対数補正が現れる基本機構である。
7. dangerously irrelevant を再訪する
irrelevant field \(u\) を含む scaling formを
\[ f_s(t,h,u)=b^{-d}f_s(b^{y_t}t,b^{y_h}h,b^{y_u}u) \]
とする。\(y_u<0\) でも scaling function が第三引数 \(z\to0\) で \(z^{-p}\) のように特異なら、\(u\) を先にゼロへ置けない。danger は固有値分類の誤りではなく、observable の scaling function が fixed-point coordinate に非解析的なことである。
証拠水準
- nonlinear scaling fieldとirrelevant補正: 固定点近傍の解析的座標変換を仮定する [RG normal-form result]。
- \(|t|^{\omega\nu}\) 補正: leading irrelevant fieldが非零である場合の [Asymptotic scaling result]。
- resonanceによる対数項: 固有値関係と非線形項に依存する [Normal-form mechanism]。
章末整理
この章で分かったこと
scaling field は bare parameter の非線形混合であり、irrelevant direction は漸近則への補正を支配する。
その結果、何が説明できるようになったか
有効指数の drift、improved model、crossover scale、marginal coupling の対数補正を同じ flow の言葉で説明できる。
まだ説明できていないこと
特定模型の \(\omega\) や crossover function の高精度計算は行っていない。
よくある誤解
- bare temperature と温度型固有座標は厳密に同一とは限らない。
- 補正が大きいことは直ちに別 universality class を意味しない。
- irrelevant coupling は有限尺度で観測不能という意味ではない。
次に自然に出てくる疑問
磁石と対称性が異なる実在流体が、なぜ同じ Ising universality class に入るのか。