第30部 disorderとRG――Harris判定、replica、rare region
1. quenchedとannealedを分ける
ランダムcouplingを \(J\) とし、固定した \(J\) に対する分配関数を \(Z[J]\) とする。quenched disorderでは \(J\) が熱平衡時間scaleで凍結しており、自由エネルギーを先に取る。
\[ F_{\rm q}=-T\,\mathbb E_J[\log Z[J]]. \]
annealed disorderでは \(J\) も熱化し
\[ F_{\rm a}=-T\log\mathbb E_J[Z[J]]. \]
Jensenの不等式により一般に両者は同じでない。平均を取る順序は模型の一部であり、計算上の都合で交換できない。
2. Harris criterionの導出
clean臨界点の相関長を
\[ \xi\sim |t|^{-\nu_{\rm clean}} \]
とする。相関体積 \(\xi^d\) 内に独立な弱いrandom-mass disorderがあると、局所臨界温度の標準偏差は中心極限定理型に
\[ \delta t_\xi\sim \xi^{-d/2} \]
と減る。一方、臨界点からの平均距離は
\[ |t|\sim \xi^{-1/\nu_{\rm clean}}. \]
clean scalingが自己無撞着であるには、\(\xi\to\infty\) で局所揺らぎが平均距離より小さく
\[ \frac{\delta t_\xi}{|t|} \sim \xi^{1/\nu_{\rm clean}-d/2}\to0 \]
でなければならない。従って
\[ d\nu_{\rm clean}>2 \]
ならweak uncorrelated disorderはirrelevant、\(d\nu_{\rm clean}<2\) ならrelevantと判定する。等号はmarginalで高次解析が必要である。Harris (1974) の判定はclean fixed pointの安定性を問う。
これは独立・短距離相関・弱disorderを仮定したpower countingである。長距離相関disorder、強disorder、rare eventでは変更される。
3. disorder fixed pointのbound
disorderがrelevantならflowは新しいrandom fixed point、first-order化、runaway、infinite-randomness fixed pointなどへ向かいうる。新固定点の指数をHarris判定だけで計算することはできない。
独立randomnessをもつ広い系で、有限size scalingの相関長指数に
\[ \nu_{\rm dis}\ge\frac2d \]
型のboundがある。Chayes et al. (1986) の定理にはdisorder分布、有限size quantity、transitionのsharpnessなどの仮定がある。数値的な「effective exponent」がboundを一時的に破ることは、asymptotic regime未到達や複数長さの可能性を示す。
4. replica trick
\[ \mathbb E[\log Z] =\lim_{n\to0}\frac{\mathbb E[Z^n]-1}{n} \]
を形式的に使い、整数 \(n\) 個のreplicaを導入する。random mass
\[ S[\phi;\delta r] =\sum_{a=1}^nS_0[\phi_a] +\frac12\int d^dx\,\delta r(x) \sum_a\phi_a^2(x) \]
で
\[ \mathbb E[\delta r(x)\delta r(y)] =\Delta\delta(x-y) \]
とする。Gaussian disorder平均を取るとreplica作用に
\[ -\frac{\Delta}{8}\int d^dx \left(\sum_a\phi_a^2\right)^2 \]
が生成される。元のreplica内quartic couplingとは異なるindex構造をもち、両couplingを同時にRGで流す必要がある。
\(n\) は最初は正整数であり、\(n\to0\) への解析接続は常に自動的に正当化されるわけではない。replica symmetry breaking、複数saddle、nonperturbative rare eventでは特に注意する。
5. random fieldとImry–Ma比較
random field \(h(x)\) が秩序変数へ線形にcoupleすると、長さ \(L\) のdomainを反転するrandom-field energy gainは典型的に
\[ \Delta E_{\rm RF}\sim L^{d/2} \]
である。Ising domain wall costは
\[ \Delta E_{\rm wall}\sim L^{d-1}. \]
\(d<2\) ではrandom gainが大scaleで勝ち、\(d=2\) はmarginalとなる。これがIsing random-field問題の下部臨界次元2を示唆するImry–Ma argumentである。Imry–Ma (1975)
連続対称性では滑らかなtwist costが \(L^{d-2}\) となり、対応する比較は下部臨界次元4を示唆する。ここまでがImry–Maのscaling argumentであり、秩序の存在・不在の完全なrigorous proofではない。
対応する厳密結果は、命題を分けて述べる必要がある。Aizenman–Wehr (1989) は、二次元のquenched randomnessが一次転移の不連続性を丸めること、またrandom-field模型について二次元IsingでGibbs状態の一意性、連続対称性では \(d\le4\) で連続対称性破れがないことを示した [Rigorous theorem under stated hypotheses]。Bricmont–Kupiainen (1987) は三次元random-field Ising模型が低温・弱random fieldで二相をもつことを示し、Ising RFIMの下部臨界次元が高々2であることを与えた [Rigorous result for 3D RFIM at weak field/low temperature]。従って「Imry–Ma比較」は次元を予言する議論、「Aizenman–Wehr/Bricmont–Kupiainen」は特定仮定下の定理である。
6. rare regionとGriffiths singularity
平均的にはdisordered phaseでも、局所的にordered側の大きな領域が指数的に稀に現れる。領域体積を \(L^d\) とすると確率は概略
\[ P(L)\sim e^{-cL^d} \]
だが、応答時間や局所感受率が同じ体積に対して指数的に大きくなれば、稀な領域が平均observableの非解析性や非常に遅いdynamicを支配しうる。
typical valueとdisorder averageが大きく異なる場合、平均だけでは分布の幅を表せない。log observable、median、full distribution、sample-to-sample varianceを併記する必要がある。
7. self-averaging
体積 \(V\) のobservable \(X\) に対しrelative variance
\[ R_X(V)= \frac{\mathbb E[X^2]-\mathbb E[X]^2} {\mathbb E[X]^2} \]
が \(V\to\infty\) で0ならself-averagingである。臨界点では相関volumeがsystem sizeへ達し、random fixed pointでは \(R_X\) が有限に残ることがある。
simulationではdisorder realization数と各sample内のthermal samplingを別々に収束させる。error barを一種類の独立標本として数えると過小評価になる。
8. clean universalityからの拡張
disorderは「microscopic detailだから必ずirrelevant」ではない。RGの普遍性は、どの摂動が固定点でirrelevantかを判定して初めて成立する。Harris criterionはその最初の検査である。
同じ平均Hamiltonianでも、quenched/annealed、random-bond/random-field、disorder相関、分布tailが違えば別のtheory spaceを流れる。universality classの指定にはrandomnessの型も含める。
証拠水準
- Harris criterion: weak・short-range・uncorrelated disorderについての [Heuristic stability scaling criterion]。
- Chayes bound: 論文のfinite-size・disorder仮定下の [Rigorous theorem]。
- replica \(n\to0\): 整数momentからの [Formal analytic continuation / perturbative method]。
- Imry–Ma比較: domain costとrandom gainの [Heuristic scaling argument]。Aizenman–WehrとBricmont–Kupiainenの結果は別途 [Rigorous theorem/result under stated hypotheses]。
- rare-region効果: disorder分布とdynamicsに依存する [Model-dependent asymptotic mechanism]。
章末整理
この章で分かったこと
quenched平均の順序、Harris criterion、replica間相互作用、Imry–Ma比較、rare regionをRGの言葉で整理できる。
その結果、何が説明できるようになったか
clean fixed pointがdisorderに安定か、新しいrandom universalityが必要かを仮定付きで判定できる。
まだ説明できていないこと
random fixed pointの具体的beta function、replica symmetry breaking、infinite-randomness RGは未展開である。
よくある誤解
- quenchedとannealed averageは交換できない。
- Harris criterionは新固定点の指数値まで与えない。
- replica \(n\to0\) は全模型で自動的に厳密な操作ではない。
次に自然に出てくる疑問
時間依存・保存則・量子揺らぎを加えると、静的普遍性classにどの新しい指数と固定点が必要になるか。