第8部　\(\epsilon\) 展開、Wilson–Fisher 固定点、臨界指数

1. なぜ \(d=4-\epsilon\) か

\(d=4\) では quartic coupling は canonical に marginal である。\(d=4-\epsilon\) なら beta function は概略

\[ \beta_g=\epsilon g-Ag^2+O(g^3),\qquad A>0 \]

となる。第一項は次元解析、第二項は揺らぎの loop 効果で、両者が釣り合う

\[ g_*=\frac\epsilon A+O(\epsilon^2) \]

は \(\epsilon\ll1\) なら弱結合にある。この小パラメータが摂動計算を制御する。分数次元空間を直接想像する必要はなく、次元 \(d\) に依存する積分を解析接続して 4 次元近傍で展開する。

前章の規約では \(A=3/2\) なので

\[ g_* = \frac{2}{3}\epsilon+O(\epsilon^2). \]

固定点座標の係数 \(2/3\) は規約依存だが、そこから整合的に求める指数は規約に依存しない。

1.1 二変数の固定点を解く

\(\epsilon=4-d\) とし、前章の二つの beta function を同時にゼロと置く。非自明解では \(g_*=O(\epsilon)\)、\(\tilde r_*=O(\epsilon)\) と予想できる。\(g\) の式で分母を一次精度では 1 として

\[ 0=\epsilon g_*-\frac32g_*^2+O(\epsilon^3) \]

から \(g_*=2\epsilon/3+O(\epsilon^2)\)。これを \(\tilde r\) の式へ入れ、同じ精度で \((1+\tilde r_*)^{-1}=1+O(\epsilon)\) とすれば

\[ 0=2\tilde r_*+\frac{g_*}{2}+O(\epsilon^2), \qquad \tilde r_*=-\frac\epsilon6+O(\epsilon^2). \]

\(\tilde r_*\) がゼロでないのは tadpole による臨界面の additive shift であり、物理的な臨界温度の補正を含む。その数値座標は scheme dependent である。

2. 温度方向の固有値

\(r\) には additive shift があるので、\(r_c(g)\) を引いた温度型 scaling field \(t_R\) を使う。固定点での安定行列は、\((\delta\tilde r,\delta g)\) の順で一次まで

\[ B_*= \begin{pmatrix} 2-\epsilon/3 & 1/2+O(\epsilon)\\ O(\epsilon^2) & -\epsilon \end{pmatrix} +O(\epsilon^2). \]

例えば左上成分は

\[ \left.\frac{\partial\beta_{\tilde r}}{\partial\tilde r} \right|_* =2-\frac{g_*}{2(1+\tilde r_*)^2} =2-\frac\epsilon3+O(\epsilon^2), \]

右下成分は \(\epsilon-3g_*=-\epsilon+O(\epsilon^2)\) である。左下成分は \(O(g_*^2)=O(\epsilon^2)\) なので、この次数では行列は上三角であり、固有値を対角成分から読める。quartic 方向は \(y_u=-\epsilon\) で IR irrelevant、温度方向は

\[ y_t=\frac1\nu=2-\frac\epsilon3+O(\epsilon^2). \]

逆数を一次まで展開する。\(1/(2-a\epsilon)=\tfrac12(1+a\epsilon/2)+O(\epsilon^2)\) なので

\[ \nu=\frac12+\frac\epsilon{12}+O(\epsilon^2). \]

one-loop では \(\eta=0+O(\epsilon^2)\)。場の scaling dimension は

\[ \Delta_\phi=\frac{d-2+\eta}{2}. \]

磁場 coupling \(h\phi\) が作用内で無次元になるため

\[ y_h=d-\Delta_\phi=\frac{d+2-\eta}{2}. \]

3. 他の指数を導く

前章までの scaling relations から

\[ \gamma=\nu(2-\eta), \qquad \beta=\frac\nu2(d-2+\eta), \]

\[ \delta=\frac{d+2-\eta}{d-2+\eta}, \qquad 2-\alpha=d\nu \]

を得る。\(\nu=1/2+\epsilon/12\)、\(d=4-\epsilon\)、\(\eta=O(\epsilon^2)\) を代入し一次まで揃えると

\[ \gamma=1+\frac\epsilon6+O(\epsilon^2), \]

\[ \beta=\frac12-\frac\epsilon6+O(\epsilon^2), \qquad \alpha=\frac\epsilon6+O(\epsilon^2). \]

途中で \(O(\epsilon^2)\) の積を捨てる次数管理が必要である。

4. scaling relation はなぜあるか

臨界指数が独立でないのは、特異自由エネルギーが二つの relevant scaling field \(t,h\) と空間次元からなる斉次関数だからである。例えば

\[ f_s(t,h)=|t|^{d/y_t} \Phi_\pm\left(h|t|^{-y_h/y_t}\right). \]

\(h\) 微分一回で \(m\)、二回で \(\chi\) を得るため、同じ \(y_t,y_h\) の組が複数の指数を決める。Widom、Rushbrooke、Fisher、Josephson/hyperscaling relations はこの構造の異なる表現である。

ただし hyperscaling は \(d>d_c\) で単純には破れる。長距離相互作用、quenched disorder、異方性、複数の長さスケールがある系では、どの仮定が残るかを再検討する。

5. \(\epsilon=1\) と置くとは何か

[Controlled perturbative result] \(\epsilon\ll1\) で有限次数までの誤差を次数で管理すること。

[Extrapolation] 三次元を求めるため低次式へ \(\epsilon=1\) を代入すること。例えば one-loop の \(\nu=7/12\simeq0.583\) は方向性を捉えるが、現代の高精度値には及ばない。

摂動級数は一般に収束級数とは限らず、しばしば factorial に増大する漸近級数である。それでも最適打切り、Borel 変換、conformal mapping、large-order 情報を用いる再総和で高精度を得られる。発散級数が役立つのは、有限次数の初期部分が小パラメータ領域の関数を良く近似し、発散の構造自体も追加情報をもつからである。

ε=1での目安は次の通りである。one-loop値は低次外挿であり、精密値は第26部 §6のbootstrap値を代表として示す。

指数	平均場	one-loop \(\epsilon=1\)	精密値の代表
\(\nu\)	\(0.5\)	\(0.5833\)	\(\simeq0.62997\)
\(\eta\)	\(0\)	\(0\)	\(\simeq0.03630\)
\(\gamma\)	\(1\)	\(1.1667\)	\(\simeq1.23708\)
\(\beta\)	\(0.5\)	\(0.3333\)	\(\simeq0.32642\)

Borel再総和とconformal mappingを用いた高次摂動の系統化は、Lipatovのlarge-order解析と Le Guillou–Zinn-Justin の再総和研究に基づく [Resummed asymptotic expansion / Extrapolation] である。有限次数の低次代入と、large-order情報を含む再総和を同じ証拠水準に置かない。

5.1 初期値独立性を閉じた式で見る

第5部で述べた「同じ固定点へ近づくなら指数が同じ」を、one-couplingの閉じた流れで確認する。IR向きRG時間 \(\ell=\log b\) について

\[ \frac{dg}{d\ell}=\epsilon g-Ag^2,\qquad A>0 \]

を解く。\(g_*=\epsilon/A\) と置き、\(y=g/g_*\) とすれば

\[ \frac{dy}{d\ell}=\epsilon y(1-y). \]

初期値 \(g_0>0\) から

\[ g(\ell)= \frac{g_*}{1+\left(g_*/g_0-1\right)e^{-\epsilon\ell}} \]

を得る。従って

\[ g(\ell)-g_* =-\frac{g_*\left(g_*/g_0-1\right)e^{-\epsilon\ell}} {1+\left(g_*/g_0-1\right)e^{-\epsilon\ell}} =O(e^{-\epsilon\ell}) =O(b^{-\omega}), \qquad \omega=\epsilon . \]

異なる正の初期値 \(g_0\) は同じ \(g_*\) へ近づき、差は correction-to-scaling 指数 \(\omega\) で消える。指数 \(\nu,\eta,\ldots\) は固定点とその線形化から決まるため、\(g_0\) の非普遍な違いに依存しない [Controlled one-loop demonstration]。

同じ理屈は \(\phi^6\) 係数にも働く。\(d=4-\epsilon\) のGaussian次元では

\[ y_6=d-6\frac{d-2}{2}=6-2d=-2+2\epsilon \]

である。相互作用固定点では演算子混合を含むscaling field \(w_6\) で判定するが、三次元Ising固定点の \(\phi^6\) 方向は通常 irrelevant と扱われる。\(y_6<0\) の範囲では

\[ \frac{dw_6}{d\ell}=y_6 w_6+\cdots,\qquad w_6(\ell)=w_6(0)e^{y_6\ell}+\cdots \]

と減衰する。従ってミクロな \(\phi^6\) 係数は有限スケール補正には現れるが、leading exponentを変えない。

6. 「解けた」の意味

Wilson–Fisher 固定点の存在を摂動的に示し指数を級数計算できることは、三次元 Ising 模型の closed-form exact solution を与えることとは違う。高次摂動、Monte Carlo、high-temperature expansion、conformal bootstrap、functional RG は相補的であり、一致が理論像を強く支持する。

出典案内

\(4-\epsilon\) 次元の非Gaussian固定点と臨界指数展開の原論文は Wilson–Fisher (1972) である。small \(\epsilon\) のcontrolled resultと \(\epsilon=1\) への外挿を区別する。

章末整理

この章で分かったこと

\(4-\epsilon\) 次元では canonical scaling と loop が釣り合い、弱結合の非 Gaussian 固定点が生じる。その線形化固有値が指数を決め、scaling relations が残りの指数を結び付ける。

よくある誤解

• \(\epsilon=1\) の低次代入は exact ではない。
• fixed-point coupling の数値より、固有値・scaling dimension が普遍的である。
• exact な flow equation と exact solution は同義ではない。

その結果、何が説明できるようになったか

平均場値からの系統的ずれと、普遍指数が固定点の局所固有値になる理由を計算できる。

まだ説明できていないこと

\(\epsilon=1\) の高精度化に必要な高次再総和と、格子模型との厳密同定は未完である。

次に自然に出てくる疑問

同じ尺度依存は量子場理論の renormalization と EFT でどう表現されるか。