第27部　exact functional RG equation――PolchinskiとWetterich

1. 「exact」の意味を限定する

functional RGは、有限個のcouplingだけでなく作用汎関数全体のscale依存を方程式にする。代表的な二形式は

• Wilsonian interaction actionを流すPolchinski方程式。
• IR-regulated 1PI effective actionを流すWetterich方程式。

である。両方とも正則化されたfunctional integralの恒等式としてexactである。しかし無限個の関数・演算子を含む方程式を有限truncationで解けば、その解はapproximateである。

2. Polchinski方程式の設定

UV cutoffに依存するregulated propagatorを \(C_\Lambda(p)\) とし

\[ S_\Lambda[\phi] =\frac12\phi\cdot C_\Lambda^{-1}\cdot\phi +S_{I,\Lambda}[\phi] \]

と分ける。内積記号は運動量積分を含む。cutoffを下げても分配関数が変わらないよう \(S_{I,\Lambda}\) を調整する。

IR向き時刻

\[ t=\log\frac{\Lambda_0}{\Lambda}, \qquad \dot C_\Lambda=\partial_t C_\Lambda \]

を使う一つの規約では、\(t\) が増えるほど \(\Lambda\) は下がり、Polchinski方程式はIR向きに流れる。field-independent定数を除いて

\[ \partial_tS_{I,\Lambda} =\frac12\frac{\delta S_I}{\delta\phi} \cdot\dot C_\Lambda\cdot \frac{\delta S_I}{\delta\phi} -\frac12\operatorname{Tr}\left( \dot C_\Lambda \frac{\delta^2S_I}{\delta\phi\,\delta\phi} \right). \]

第一項は二つのinteraction vertexを一本のscale shell propagatorで結ぶtree型項、第二項は一つのvertex内を縮約するloop型項である。見かけ上one-loop構造でも、右辺にfull \(S_I\) が入るため摂動one-loop近似ではない。この式は指定したcutoff下の [Exact functional identity] である。Polchinski (1984)

3. total functional derivativeからの導出

分配関数

\[ Z_\Lambda=\int\mathcal D\phi\, \exp\left[ -\frac12\phi C_\Lambda^{-1}\phi-S_{I,\Lambda} \right] \]

の \(t\) 微分をゼロにしたい。functional integration by partsで

\[ 0=\int\mathcal D\phi\, \frac{\delta}{\delta\phi}\cdot \left[ \frac12\dot C_\Lambda \left( \frac{\delta S_I}{\delta\phi} +C_\Lambda^{-1}\phi \right)e^{-S_\Lambda} \right] \]

型のtotal derivativeを挿入し、Gaussian kernelの微分と組み合わせると前節のflowを得る。境界項が消えること、measureとregulatorが定義されていることを仮定する。

この導出は、RG flowを「物理理論が変わる時間発展」ではなく、同じpartition functionを異なるcutoffで表す補償変換として示す。

4. effective average action

Wetterich形式では低運動量modeを抑えるIR regulator

\[ \Delta S_k[\varphi] =\frac12\int\frac{d^dq}{(2\pi)^d} \varphi(-q)R_k(q)\varphi(q) \]

を加える。望ましい \(R_k\) は概略

\[ R_k(q)\sim k^2\quad(q^2\ll k^2), \qquad R_k(q)\to0\quad(q^2\gg k^2) \]

を満たし、\(q\lesssim k\) のmodeにmassを与える。

\[ W_k[J]=\log\int\mathcal D\varphi\, e^{-S[\varphi]-\Delta S_k[\varphi]+J\cdot\varphi} \]

とし、平均場 \(\phi=\delta W_k/\delta J\) を使ってmodified Legendre transform

\[ \Gamma_k[\phi] =J\cdot\phi-W_k[J]-\Delta S_k[\phi] \]

を定義する。最後に \(\Delta S_k[\phi]\) を引くことで、\(k\to0\) では通常の1PI effective actionへ戻る。

5. Wetterich方程式の導出

\(t=\log k\) と置く。この規約では \(t\) が増えるほど \(k\) も増えるのでUV向きであり、IRへ解くときは \(k\) を下げる、すなわち \(t\) を減らす向きに積分する。Legendre transformを固定した平均場 \(\phi\) で微分すると、\(J\) の微分項は相殺され

\[ \partial_t\Gamma_k[\phi] =\frac12\operatorname{Tr} \left[ \langle\varphi\varphi\rangle-\phi\phi \right]\partial_tR_k. \]

connected二点関数はmodified Legendre transformの逆Hessianなので

\[ G_k=(\Gamma_k^{(2)}+R_k)^{-1}. \]

従って

\[ \boxed{ \partial_t\Gamma_k[\phi] =\frac12\operatorname{Tr}\left[ (\Gamma_k^{(2)}[\phi]+R_k)^{-1} \partial_tR_k \right]} \]

を得る。ここで

\[ \langle\varphi\varphi\rangle_c =\langle\varphi\varphi\rangle-\phi\phi \]

なので、角括弧はconnected二点関数そのものである。これがWetterich方程式であり、正則化されたfunctional integralの [Exact functional identity] である。Wetterich (1993)

6. one-loop形だがone-loop近似でない

通常のone-loop effective action

\[ \Gamma_{\rm 1loop}=S+\frac12\operatorname{Tr}\log S^{(2)} \]

をscale微分した形に似ている。しかしWetterich式のpropagatorにはbare Hessian \(S^{(2)}\) でなくfull running Hessian \(\Gamma_k^{(2)}\) が入る。この自己無撞着性により全loop次数を含む。

一方、右辺を評価するには \(\Gamma_k\) の全field・momentum依存を知る必要がある。有限ansatzへ射影した瞬間にtruncation errorが入る。

7. UV初期条件とIR極限

\(k=\Lambda\) で \(R_\Lambda\) を十分大きく選ぶと揺らぎが凍り

\[ \Gamma_\Lambda\simeq S \]

を初期条件にできる。そこから \(k\) を0へ下げるとmodeが順次解放され

\[ \Gamma_{k\to0}=\Gamma \]

となる。

有限cutoffのEFTでは \(\Gamma_\Lambda=S\) を定義として置けるが、continuum limitを主張するにはbare parameterのcutoff依存とUV fixed pointを別途調べる必要がある。

8. 両形式の関係

Polchinski作用は「まだ積分していない低modeのためのWilsonian action」、Wetterich作用は「\(q\gtrsim k\) の揺らぎを取り込んだIR-regulated 1PI action」である。適切なLegendre変換とregulator対応の下で関係付けられるが、同じ汎関数ではない。

比較するときは少なくとも

• cutoffがUV抑制かIR抑制か。
• flow parameterがUV向きかIR向きか。
• connected、Wilsonian、1PIのどの生成汎関数か。
• field-independent vacuum termを残すか。

を揃える必要がある。

9. 証拠水準

• Polchinski/Wetterich方程式: regulatorとmeasureを定義した上での [Exact functional identity]。
• \(\Gamma_\Lambda\simeq S\): regulatorが揺らぎを十分抑えるUV初期条件についての [Regulator-dependent limiting statement]。
• LPA、derivative expansion、vertex expansion: exact式を有限ansatzへ射影する [Systematic truncation / nonperturbative approximation]。
• truncationで得た固定点・指数: 収束とregulator安定性を別途示す [Numerical approximation]。

章末整理

この章で分かったこと

分配関数またはmodified Legendre transformのscale不変性から、Polchinski方程式とWetterich方程式を導ける。

その結果、何が説明できるようになったか

exact RG equationのexact性と、実際の有限truncationの近似性を明確に分離できる。

まだ説明できていないこと

具体的なpotential flow、regulator依存性、臨界指数の数値収束は次章へ残る。

よくある誤解

• 右辺がtrace一個でも摂動one-loopだけを含む式ではない。
• exact flow equationを持つことはexact solutionを得たことではない。
• Polchinski作用と1PI effective actionは同じ汎関数ではない。

次に自然に出てくる疑問

無限次元のWetterich方程式を、誤差を監査できる有限の近似へどう落とすか。