第32部 量子臨界現象――虚時間、動的指数、有限温度fan
1. 量子相転移
Hamiltonian \(H(g)\) のcoupling \(g\) を零温度で変え、基底状態の性質が \(g_c\) で非解析的に変わる現象を量子相転移という。熱揺らぎでなく、非可換項と不確定性が生む量子揺らぎがtransitionを駆動する。
\[ \xi\sim|g-g_c|^{-\nu} \]
に加え、energy gapまたは相関時間は
\[ \Delta\sim\xi^{-z}, \qquad \xi_\tau\sim\xi^z \]
とscaleする。\(z\) は空間と時間の異方性を表す。
2. path integralと虚時間
分配関数
\[ Z=\operatorname{Tr}e^{-\beta H} \]
をTrotter分解すると、虚時間 \(\tau\in[0,\beta)\) を加えたEuclidean path integralになる。bosonは周期、fermionは反周期境界条件をもつ。
零温度 \(\beta\to\infty\) では虚時間方向も無限になる。\(z=1\) でLorentz型対称性がemergentなら、\(d\) 次元量子臨界点はしばしば \(d+1\) 次元古典臨界点と同じscaling構造をもつ。
しかしBerry phase、dissipation、long-range temporal interaction、Fermi surface、gauge constraintがあると、単純な局所・等方的 \(d+1\) 次元古典模型にはならない。
3. transverse-field Isingの例
\[ H=-J\sum_{\langle ij\rangle}\sigma_i^z\sigma_j^z -h\sum_i\sigma_i^x \]
では \(J\) が \(z\) 方向の秩序を、\(h\) がspin flipによる量子揺らぎを促す。Trotter分解後、空間bondと虚時間bondをもつ異方的古典Ising模型へ写る。
連続極限で異方性を座標rescalingへ吸収できる臨界点では \(z=1\) となる。従って一次元量子transverse-field Isingの臨界性は二次元古典Ising universalityと対応する [Exact universality mapping in the Trotter/continuum limit]。標準的導出は Sachdev (2011) を参照する。
写像は有限Trotter stepでexactではなく、stepを0へ送る極限を含む。非普遍なcoupling対応と臨界点位置は別に計算する。
4. 有効次元と上部臨界次元
異方的scale変換
\[ x\mapsto bx, \qquad \tau\mapsto b^z\tau \]
では時空measureが \(b^{d+z}\) とscaleする。hyperscalingが成立する量子臨界点では、自由エネルギー密度の有効次元は \(d+z\) になる。
局所 \(\phi^4\) 理論なら、単純power countingで
\[ d+z=4 \]
が上部臨界次元の境界になることがある。ただしLandau dampingのような非解析的kernel、複数の \(z\)、dangerously irrelevant couplingがあると、この置換だけでは不十分である。
5. 有限温度という有限虚時間
有限温度では虚時間方向の長さが
\[ L_\tau=\frac{\hbar}{k_BT} \]
に切られる。量子臨界scale \(\xi_\tau\sim|g-g_c|^{-\nu z}\) と比較し
\[ k_BT\sim |g-g_c|^{\nu z} \]
がcrossover境界を与える。
- \(k_BT\ll |g-g_c|^{\nu z}\): 低温のordered側またはdisordered側。
- \(k_BT\gg |g-g_c|^{\nu z}\): quantum critical fan。
fanは新しい零温度相ではなく、有限温度が臨界gapより大きく、\(g_c\) fixed pointに支配されるcrossover領域である。
6. 有限温度scaling
energy scale \(T\) は逆時間なのでRG固有値 \(y_T=z\) をもつ。observable \(O\) のscaling dimensionを \(\Delta_O\) とすれば
\[ \langle O\rangle(r,T) =b^{-\Delta_O} \mathcal F_O(rb^{1/\nu},Tb^z). \]
\(b=T^{-1/z}\) と選び
\[ \langle O\rangle(r,T) =T^{\Delta_O/z} \Phi_O\left(r/T^{1/(\nu z)}\right). \]
hyperscalingが成立すれば特異自由エネルギー密度は臨界couplingで
\[ f_s(0,T)\sim T^{(d+z)/z}. \]
比熱などはこれを温度微分して得る。ただしFermi surfaceやdangerously irrelevant variableではhyperscaling violation exponentが必要になることがある。
7. Matsubara zero modeとclassical crossover
bosonic Matsubara周波数は
\[ \omega_n=2\pi nT. \]
有限温度transitionへ十分近づくと、非零 \(n\) modeはgap \(\sim2\pi T\) をもち、\(n=0\) modeが長距離を支配する。この領域では \(d\) 次元古典universalityへdimensional reductionすることがある。
従って同じphase diagram内でも、零温度量子fixed pointが支配するfanと、有限温度classical fixed pointのasymptotic critical regionを区別する。実験の有効指数は両者のcrossoverを反映しうる。
8. Hertz型理論の注意
金属量子臨界ではfermionを積分して秩序変数だけの作用を作るHertz型手法がある。gapless Fermi surfaceを積分すると
- Landau damping。
- 非局所・非解析的vertex。
- 複数patch間のcoupling。
が生じうる。重いmassive場を消す通常EFTと違い、gapless自由度を安易に消すとlocal derivative expansionが破れる。
「有効次元 \(d+z\) が4より上だからmean field」で全てを結論せず、fermion・gauge mode・dangerously irrelevant interactionがobservableへ戻るかを調べる。
9. RGが結ぶもの
量子臨界RGは、基底状態のentanglement、有限温度transport、spectral function、classical crossoverを同じfixed pointから整理する。ただしreal-time transportはEuclidean静的相関の解析接続を要し、保存則とhydrodynamicsも関与する。
標準的な枠組みは Sachdev, Quantum Phase Transitions、秩序変数理論の原型は Hertz (1976) を参照する。\(d+z\) hyperscalingとfanの式は [Scaling hypothesis under single-scale assumptions]、gapless fermionを消去したlocal actionの妥当性は [Model-dependent approximation] と区別する。
章末整理
この章で分かったこと
量子臨界点では虚時間が追加scaleとなり、\(\xi_\tau\sim\xi^z\) と有限温度長 \(1/T\) の競合がphase diagramを組織する。
その結果、何が説明できるようになったか
quantum-to-classical mapping、有効次元 \(d+z\)、quantum critical fan、有限温度classical crossoverを区別できる。
まだ説明できていないこと
deconfined criticality、Fermi-surface patch RG、量子entanglementの普遍項は未展開である。
よくある誤解
- 全ての \(d\) 次元量子臨界点が等方的 \(d+1\) 次元古典模型になるわけではない。
- quantum critical fanは独立した零温度相ではない。
- gapless自由度はmassive場と同じように常に局所EFTへ消去できない。
次に自然に出てくる疑問
固定点を持たないrunaway flow、first-order transition、複素固定点、turbulenceではRGをどう解釈するか。