第26部 三次元conformal bootstrap――crossingから臨界指数を囲い込む
1. 四点関数に残る自由度
同一scalar primary \(\sigma\) の四点関数はconformal symmetryにより
\[ \langle\sigma(x_1)\sigma(x_2) \sigma(x_3)\sigma(x_4)\rangle =\frac{\mathcal G(u,v)} {|x_{12}|^{2\Delta_\sigma}|x_{34}|^{2\Delta_\sigma}} \]
と書ける。独立な座標依存性はcross ratio
\[ u=\frac{x_{12}^2x_{34}^2}{x_{13}^2x_{24}^2}, \qquad v=\frac{x_{14}^2x_{23}^2}{x_{13}^2x_{24}^2} \]
だけに残る。二点・三点関数と違い、関数 \(\mathcal G(u,v)\) は対称性だけでは一意に決まらない。
2. OPEとconformal block
\(12\to0\) channelでOPEを挿入すると
\[ \mathcal G(u,v) =\sum_{\mathcal O\in\sigma\times\sigma} \lambda_{\sigma\sigma\mathcal O}^2 g_{\Delta_\mathcal O,\ell_\mathcal O}(u,v). \]
\(g_{\Delta,\ell}\) はconformal blockで、primary \(\mathcal O\) と全descendantの寄与をkinematicsからまとめた既知関数である。未知量はoperator dimensionとOPE係数である。
同一の実scalarを反射正値なunitary CFTで扱うと、適切な規格化で
\[ \lambda_{\sigma\sigma\mathcal O}^2\ge0. \]
このpositivityが数値最適化を可能にする。非unitary理論では同じ不等式を使えない。
3. crossing equation
同じ四点関数を \(14\to0\) channelで展開しても結果は一致しなければならない。従って
\[ v^{\Delta_\sigma}\mathcal G(u,v) =u^{\Delta_\sigma}\mathcal G(v,u). \]
block展開を代入すれば、恒等演算子の寄与と他の全演算子の寄与が満たす無限次元のsum ruleになる。
数値bootstrapは、crossing式へ作用する線形汎関数 \(\alpha\) を探す。仮定したspectrumに対し、恒等演算子では一方の符号、許された全blockでは反対の符号を取る \(\alpha\) が見つかれば、そのspectrumはcrossingとpositivityに矛盾するため排除される。
これは特定のLagrangianを摂動展開する計算ではない。CFT公理に近い整合条件から許容dataを外側から削る方法である。
最小例では、crossing式を
\[ \sum_{\mathcal O}\lambda_{\sigma\sigma\mathcal O}^2 F_{\Delta,\ell}(u,v)=0 \]
と書き、対称点 \(u=v=1/4\) の近傍で
\[ \alpha[F]=\sum_{m+n\le\Lambda}a_{mn} \partial_u^m\partial_v^n F\big|_{u=v=1/4} \]
という有限個の微分汎関数を選ぶ。unitarityにより \(\lambda^2\ge0\) なので、仮定した全非恒等演算子に \(\alpha[F_{\Delta,\ell}]\ge0\)、恒等演算子に \(\alpha[F_{\mathbf1}]>0\) が成り立つなら、和はゼロになれず、そのspectrum仮定は排除される [Finite-dimensional numerical bootstrap certificate]。実際の計算ではこの条件を半正定値計画問題へ変換し、\(\Lambda\)、spin cutoff、gap仮定を上げて安定性を調べる。
4. unitarity boundとspin
\(d\ge3\) のunitary CFTではprimary dimensionに下限がある。scalarでは
\[ \Delta\ge\frac{d-2}{2}, \]
spin \(\ell>0\) のsymmetric traceless operatorでは
\[ \Delta\ge \ell+d-2. \]
後者の等号は保存currentに対応する。stress tensorは spin 2、\(\Delta=d\) でboundを飽和する。これらの条件とglobal symmetry sectorをcrossingに組み込むことで制約が強くなる。
5. single-correlator boundからislandへ
\(\langle\sigma\sigma\sigma\sigma\rangle\) だけでも、最初の \(\mathbb Z_2\)-even scalar \(\varepsilon\) のdimensionにboundを与えられる。しかしIsing CFTを小さいislandへ絞るには、\(\sigma\) と \(\varepsilon\) のmixed correlator群
\[ \langle\sigma\sigma\sigma\sigma\rangle, \quad \langle\sigma\sigma\varepsilon\varepsilon\rangle, \quad \langle\varepsilon\varepsilon\varepsilon\varepsilon\rangle \]
のcrossingを同時に課し、sectorごとのspectrum gapなどを仮定する。
islandの幅はderivative truncation、spin cutoff、数値精度を上げると縮むが、結果の論理的強さは入力仮定に依存する。「小さいislandが見えた」だけでCFTの存在・一意性や格子Isingからの収束が証明されたとは限らない。
6. 2025年の三次元Ising data
Chang et al. (2025) はstress tensorを含むmixed-correlator bootstrapから、明示したgapとunitary CFT仮定の下で
\[ \Delta_\sigma=0.518148806(24), \qquad \Delta_\varepsilon=1.41262528(29) \]
を報告した。括弧の \((24)\)、\((29)\) は最後の表示桁に対する不確かさを表す。これは入力されたCFT公理、gap仮定、有限の数値探索設定、丸め・外挿管理の下で得られた数値的に認証された島の幅であり、格子Ising模型のscaling limit存在を同時に証明するものではない。本書ではこれを [Conditional certified numerical bound under stated bootstrap assumptions] と分類する。
臨界指数への変換は
\[ \eta=2\Delta_\sigma-(d-2), \qquad \nu=\frac1{d-\Delta_\varepsilon} \]
である。\(d=3\) を代入すると
\[ \eta=0.036297612(48), \qquad \nu=0.62997097(12). \]
さらに
\[ \beta=\nu\Delta_\sigma\approx0.3264187, \qquad \gamma=\nu(2-\eta)\approx1.2370755. \]
最後の桁の誤差伝播では入力間相関が必要であり、ここでの丸め値に独立誤差を勝手に付けない。
7. stress tensorとcentral charge
stress tensorの二点関数係数 \(C_T\) は三次元CFTの普遍dataであり、Ward identityにより \(\lambda_{\sigma\sigma T}\) と \(\Delta_\sigma\) に結ばれる。\(C_T\) を精密化するにはstress tensorが唯一の保存spin-2演算子であることなど、sectorの同定が重要になる。
二次元のcentral charge \(c\) と同様の役割を一部担うが、三次元ではVirasoro代数のcentral termそのものではない。次元をまたいで記号だけを同一視しない。
8. bootstrapが答えない問い
bootstrapは「仮定したCFT公理とspectrum条件を満たすdata」を制約する。次は別問題である。
- 具体的格子Hamiltonianが臨界点をもつこと。
- scaling limitが存在して局所CFTになること。
- その極限がbootstrap island内のCFTと一致すること。
- 非普遍な \(T_c\) やmetric factorを求めること。
Monte Carlo、high-temperature expansion、実験、摂動RGとの一致は同定を強く支持するが、各方法の仮定と誤差を合算せず並列に示す必要がある。bootstrapの方法論と証拠水準は Rychkov–Su (2024) を参照。
章末整理
この章で分かったこと
四点関数のOPE associativity、crossing、unitarity positivityからCFT spectrumとOPE係数を数値的に制約できる。
その結果、何が説明できるようになったか
三次元Isingの高精度指数がどの仮定と変換式から得られるか、islandが何を証明し何を証明しないかを区別できる。
まだ説明できていないこと
conformal blockの再帰計算、semidefinite programming、truncation収束の実装は未展開である。
よくある誤解
- bootstrapは格子模型を直接simulationする方法ではない。
- 数値islandは無仮定の存在・一意性証明ではない。
- 高精度の指数とclosed-form exact solutionは同義ではない。
次に自然に出てくる疑問
固定点から離れた全trajectoryを、無限個の演算子を保つfunctional RG equationでどう記述するか。