第20部 \(O(N)\)模型のone-loop RG――組合せ係数から指数まで
1. 規約と目標
\(d=4-\epsilon\) で
\[ S=\int d^dx\left[ \frac12(\nabla\boldsymbol\phi)^2 +\frac r2\boldsymbol\phi^2 +\frac u{4!}(\boldsymbol\phi^2)^2 \right] \]
を考える。無次元couplingを
\[ g=K_du\Lambda^{-\epsilon}, \qquad K_d=\frac{S_{d-1}}{(2\pi)^d} \]
と定義し、WilsonのIR向き時刻 \(\ell=\log(\Lambda_{\rm UV}/k)\) を使う。以下の係数はこの規約に依存するが、同じ規約で求めた固定点固有値は普遍的である。
目標は
\[ \frac{dg}{d\ell} =\epsilon g-\frac{N+8}{6}g^2+O(g^3), \]
\[ \frac{d\tilde r}{d\ell} =2\tilde r+\frac{N+2}{6}\frac{g}{1+\tilde r} +O(g^2) \]
を導き、\(N=1\) で第7部の係数 \(3/2\) と \(1/2\) を再現することである。
2. quartic vertexのtensor構造
相互作用を成分で微分すると、四点vertexのindex tensorは
\[ V_{abcd}=\frac u3 (\delta_{ab}\delta_{cd} +\delta_{ac}\delta_{bd} +\delta_{ad}\delta_{bc}) \]
となる。\(N=1\) では括弧が3なので通常のvertex \(u\) に戻る。
one-loop四点関数には、外線の組分けに対応する \(s,t,u\) 三channelがある。括弧内のtensorを
\[ T_{abcd}= \delta_{ab}\delta_{cd} +\delta_{ac}\delta_{bd} +\delta_{ad}\delta_{bc} \]
と書く。一つのchannelを内部index \(i,j\) で縮約すると
\[ T_{abij}T_{ijcd} =(N+4)\delta_{ab}\delta_{cd} +2\delta_{ac}\delta_{bd} +2\delta_{ad}\delta_{bc}. \]
例えば \(\delta_{ab}\delta_{ij}\delta_{ij}\delta_{cd}\) が \(N\delta_{ab}\delta_{cd}\) を与え、残りのcross contractionが定数4と2を作る。外部indexを \((ab|cd)\)、\((ac|bd)\)、\((ad|bc)\) に組み替えた三channelを足せば
\[ T_{abij}T_{ijcd} +T_{acij}T_{ijbd} +T_{adij}T_{ijbc} =(N+8)T_{abcd}. \]
従ってloop補正は元と同じ唯一の \(O(N)\) invariant quartic tensorへ閉じる。
\(N\) の項は閉じた内部index loop \(\delta_{ii}=N\) から、定数項は外部indexを交差させる複数の縮約から来る。この構造にshell積分
\[ I_2(r)=\int_{\rm shell}\frac{d^dq}{(2\pi)^d} \frac1{(q^2+r)^2} =K_d\frac{\Lambda^d}{(\Lambda^2+r)^2}d\ell \]
と第二cumulantの負符号を組み合わせると
\[ \delta u=-\frac{N+8}{6}u^2I_2(r) \]
を得る。\(N=1\) なら \((N+8)/6=3/2\) である。
3. tadpoleとmassの係数
二点関数のone-loop補正はtadpoleである。外部成分を \(a,b\) とすると、vertexの残り二本を内部で縮約して
\[ V_{abii}=\frac u3 (\delta_{ab}\delta_{ii} +2\delta_{ai}\delta_{bi}) =\frac u3(N+2)\delta_{ab}. \]
diagramの対称係数 \(1/2\) を含めれば
\[ \delta r=\frac{N+2}{6}uI_1(r), \qquad I_1(r)=\int_{\rm shell}\frac{d^dq}{(2\pi)^d} \frac1{q^2+r}. \]
\(N=1\) では \(\delta r=uI_1/2\) に戻る。tadpoleは外部運動量に依存しないため、この次数では波動関数繰り込みを生じず
\[ \eta=0+O(g^2)=O(\epsilon^2) \]
である。
4. rescalingとbeta function
shell積分後に \(k'=bk\)、\(\phi'(x')=b^{(d-2)/2}\phi_<(x)\) としてcutoffを戻す。\(\tilde r=r/\Lambda^2\) と \(g\) に直すと
\[ \beta_g\equiv\frac{dg}{d\ell} =\epsilon g-\frac{N+8}{6} \frac{g^2}{(1+\tilde r)^2}+O(g^3), \]
\[ \beta_{\tilde r}\equiv\frac{d\tilde r}{d\ell} =2\tilde r+\frac{N+2}{6} \frac{g}{1+\tilde r}+O(g^2). \]
\(\tilde r\) の定数項は臨界面のadditive shiftを表す。したがって物理的な温度型scaling fieldは \(t_R\propto\tilde r-\tilde r_c(g)\) と取る。
5. Wilson–Fisher固定点
\(g_*=O(\epsilon)\)、\(\tilde r_*=O(\epsilon)\) として一次まで解くと
\[ g_*=\frac{6\epsilon}{N+8}+O(\epsilon^2), \]
\[ \tilde r_*=-\frac{N+2}{12}g_*+O(\epsilon^2) =-\frac{N+2}{2(N+8)}\epsilon+O(\epsilon^2). \]
\(g_*\) の正値性には \(N>-8\) が必要だが、通常の \(O(N)\) spin模型では正整数 \(N\) を考える。固定点座標はcutoffやcoupling規約に依存する。
quartic方向の線形化固有値は
\[ y_g=\left.\frac{\partial\beta_g}{\partial g}\right|_* =-\epsilon+O(\epsilon^2), \]
でIR irrelevantである。leading correction-to-scaling exponentはこの次数で \(\omega=\epsilon+O(\epsilon^2)\) となる。
6. 温度固有値と\(\nu\)
mass方向の微分は
\[ y_t=\left.\frac{\partial\beta_{\tilde r}} {\partial\tilde r}\right|_* =2-\frac{N+2}{6}g_*+O(\epsilon^2) =2-\frac{N+2}{N+8}\epsilon+O(\epsilon^2). \]
従って
\[ \nu=\frac1{y_t} =\frac12+\frac{N+2}{4(N+8)}\epsilon +O(\epsilon^2). \]
\(N=1\) では \(\nu=1/2+\epsilon/12\)。\(N\to\infty\) では一次式は \(\nu=1/2+\epsilon/4+\cdots\) となり、large-\(N\) exact leading result \(1/(d-2)=1/(2-\epsilon)=1/2+\epsilon/4+\cdots\) と整合する。
二loopで初めて
\[ \eta=\frac{N+2}{2(N+8)^2}\epsilon^2 +O(\epsilon^3) \]
が現れる。この式だけ二loopから借り、他をone-loopのまま混ぜる場合は、全体が一貫した \(O(\epsilon^2)\) 精度になったとは言えない。
7. 他の指数と検算
hyperscalingが成り立つ \(d<4\) の固定点で
\[ \alpha=2-d\nu, \qquad \beta=\frac\nu2(d-2+\eta), \qquad \gamma=\nu(2-\eta) \]
を使う。one-loop精度では \(\eta=0\) として
\[ \alpha=\frac{4-N}{2(N+8)}\epsilon+O(\epsilon^2), \]
\[ \beta=\frac12-\frac{3}{2(N+8)}\epsilon+O(\epsilon^2), \qquad \gamma=1+\frac{N+2}{2(N+8)}\epsilon+O(\epsilon^2). \]
\(N=1\) を代入すると第8部の \(\alpha=\epsilon/6\)、\(\beta=1/2-\epsilon/6\)、\(\gamma=1+\epsilon/6\) を全て再現する。これは規約と組合せ係数の有効なunit checkである。
8. 証拠水準と適用限界
ここで導いたのは [Controlled perturbative result] \(\epsilon\ll1\) における有限次数展開である。三次元へ \(\epsilon=1\) を代入するのは [Extrapolation] であり、高精度には高loop計算と再総和が必要である。
\(N=2\) の二次元極限へ \(\epsilon=2\) を低次代入してもBKT fixed lineとvortexを再現できない。\(4-\epsilon\) 展開はquartic Landau–Ginzburg固定点近傍の局所的制御法であり、全ての次元・topological sectorを一つの低次式で覆うものではない。
標準的な \(O(N)\) 指数と高次結果の整理は Pelissetto–Vicari (2002)、\(4-\epsilon\) の原型は Wilson–Fisher (1972) を参照。
章末整理
この章で分かったこと
\(O(N)\) のindex contractionから \((N+2)\) と \((N+8)\) が生じ、固定点と指数の \(N\) 依存性をone-loopで導ける。
その結果、何が説明できるようになったか
Isingの係数を一般成分数へ拡張し、\(N=1\) とlarge-\(N\) の二方向で式を検算できる。
まだ説明できていないこと
高loop再総和、BKT sector、cubic anisotropy、複合演算子の完全なmixing行列は扱っていない。
よくある誤解
- beta functionの係数はcoupling規約を揃えず比較できない。
- \(\eta=0\) はone-loopの結果でありexact resultではない。
- \(\epsilon=1\) や2への低次代入はcontrolled small-\(\epsilon\) resultではない。
次に自然に出てくる疑問
scaling relationとhyperscalingは、自由エネルギーの斉次性からどこまで導け、dangerously irrelevant variableでどう破れるか。