第14部　1D・2D・3D Ising 模型――「解ける」の意味を比較する

1. 同じ式、異なる次元

零磁場の最近接 Ising 模型

\[ H=-J\sum_{\langle ij\rangle}s_is_j, \qquad s_i=\pm1 \]

はどの次元でも同じ形に見える。しかし domain wall のエネルギーと entropy、長距離幾何、臨界固定点が次元で変わるため、相転移の有無と指数は同じでない。

2. 一次元を transfer matrix で解く

周期境界 \(s_{N+1}=s_1\) とし、\(K=\beta J\)、\(H=\beta h\) と置く。各 bond の重みを両端へ外場を半分ずつ割り当てて

\[ T_{ss'}=\exp\left[Kss'+\frac H2(s+s')\right] \]

と定義する。\(s,s'=+1,-1\) の順なら

\[ T= \begin{pmatrix} e^{K+H} & e^{-K}\\ e^{-K} & e^{K-H} \end{pmatrix}. \]

全配置の重みを掛けて和を取る操作は行列積の trace なので

\[ Z_N=\operatorname{Tr}T^N=\lambda_+^N+\lambda_-^N. \]

固有値は二次方程式から

\[ \lambda_\pm=e^K\cosh H \pm\sqrt{e^{2K}\sinh^2H+e^{-2K}}. \]

有限温度では \(\lambda_+>|\lambda_-|\) なので熱力学極限の自由エネルギー密度は

\[ f=-k_BT\lim_{N\to\infty}\frac1N\log Z_N =-k_BT\log\lambda_+. \]

\(T>0\) では平方根の中身が正で \(\lambda_+\) は解析的だから、有限温度相転移はない。

3. 一次元の相関長

\(h=0\) では

\[ \lambda_+=e^K+e^{-K}=2\cosh K, \qquad \lambda_-=e^K-e^{-K}=2\sinh K. \]

transfer matrix の spectral decomposition から connected correlation は固有値比で

\[ \langle s_0s_r\rangle_c\propto \left(\frac{\lambda_-}{\lambda_+}\right)^r =(\tanh K)^r. \]

\(e^{-r/\xi}=(\tanh K)^r\) と比較して

\[ \xi^{-1}=-\log(\tanh K). \]

任意の有限 \(K\) で \(\xi\) は有限で、\(T\to0\)、すなわち \(K\to\infty\) でのみ発散する。低温で \(\tanh K=1-2e^{-2K}+\cdots\) だから

\[ \xi\sim\frac12e^{2K}. \]

これは domain wall の密度 \(p\sim e^{-2K}\) の逆数と同じ指数scaleをもち、より正確には \(\xi\sim1/(2p)\) で係数2が異なる。

4. 二次元で何が exact か

正方格子・零磁場の二次元 Ising 模型は、Onsager (1944) が熱力学極限の free energy を exact に求めた。critical coupling は

\[ \sinh(2K_c)=1, \qquad K_c=\frac12\log(1+\sqrt2). \]

これは高温・低温 duality の self-dual point と一致する。ただし self-duality だけで相転移の存在と一意性が自動的に証明されるわけではなく、解析性の議論が必要である。

Yang (1952) の spontaneous magnetization は

\[ m(T)=\left[1-\sinh^{-4}(2K)\right]^{1/8} \quad(T<T_c) \]

である。\(K\to K_c^+\) で角括弧は \(K-K_c\) に一次なので

\[ m\sim (T_c-T)^{1/8}, \qquad \beta=\frac18. \]

他に \(\nu=1\)、\(\eta=1/4\)、\(\gamma=7/4\)、\(\alpha=0\) だが、\(\alpha=0\) は単なる有限 jump ではなく対数発散に対応する。指数が同じゼロでも singularity の形を確認する必要がある。二次元 Ising の fermion/CFT 表現と相関指数は Boyanovsky (1989) を参照。

「2D Ising が exact に解けた」も範囲を明記する。零磁場の free energy と多くの相関データは exact だが、一般の一様外場 \(h\ne0\) の格子模型の free energy は同じ意味では閉形式に解かれていない。臨界点での continuum limit は最小模型 CFT として非常に強く理解される。

5. 三次元で何が分かるか

三次元 simple-cubic Ising 模型には、二次元 Onsager 解に対応する閉形式の分配関数は知られていない。それでも Monte Carlo、高温・低温展開、再総和 field theory、conformal bootstrap が整合し、主要 universal data は高精度で分かる。

2025年の Chang et al. の bootstrap 値を使えば

\[ \nu=0.62997097(12),\qquad \eta=0.036297612(48). \]

scaling relations から

\[ \beta=\frac\nu2(1+\eta)\approx0.3264187, \qquad \gamma=\nu(2-\eta)\approx1.2370755. \]

これは [Conditional certified numerical bounds under stated CFT assumptions] から導く値であり、格子模型から continuum CFT への収束証明ではない。

6. 上部・下部臨界次元

short-range Ising では下部臨界次元は \(d_l=1\) である。\(d=1\) では有限温度秩序がなく、\(d>1\) で低温 ordered phase が可能になる。一方 \(\phi^4\) description の上部臨界次元は \(d_c=4\) で、\(d>4\) では Gaussian fixed point が leading exponents を支配する。

下部臨界次元は秩序が存在できる境界、上部臨界次元は相互作用固定点が mean-field/Gaussian に交代する境界であり、同じ概念ではない。

7. 比較表

次元	有限温度転移	長距離固定点	代表的理解
1D	なし	\(T=0\) でのみ臨界	transfer matrix で exact
2D	あり	非 Gaussian Ising CFT	零磁場 free energy・主要臨界量が exact
3D	あり	Wilson–Fisher / Ising CFT	universal data は高精度、closed-form lattice solution なし
\(d>4\)	あり	Gaussian	mean-field exponent、dangerously irrelevant \(u\) に注意

章末整理

この章で分かったこと

同じ Ising Hamiltonian でも次元により domain wall、固定点、指数、可解性が変わる。

その結果、何が説明できるようになったか

exact solution、高精度数値、条件付き bootstrap bound、物理的同定を区別できる。

まだ説明できていないこと

二次元 transfer matrix の対角化全体、fermion 化、三次元数値法の実装は扱っていない。

よくある誤解

• 2D Ising の「exact」は任意外場の全問題が解けたという意味ではない。
• 3D Ising は未解決だから指数が分からない、という意味ではない。
• 下部臨界次元と上部臨界次元は別の問いに答える。

次に自然に出てくる疑問

固定点へ近づく速さと、有限距離で観測される「有効指数」はどう整理されるか。